Quod Erat Demonstrandum

2017/05/27

帕斯卡三角形某結果

Filed under: Fun,Pure Mathematics — johnmayhk @ 8:56 上午
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帕斯卡三角形(Pascal’s triangle),好玩。這次玩乘。

去片

證明 (more…)

2017/04/21

三垂線定理

Filed under: mathematics,NSS,Pure Mathematics,University Mathematics — johnmayhk @ 12:56 下午
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(一)前言

第一次聽「三垂線定理」,大抵是今年二月在大同的群組:

第二次聽「三垂線定理」是 (more…)

2017/04/16

行列式特性

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 5:05 下午
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觀同事課,談因式分解行列式(determinant)。

他先給最簡單例子:

Factorize \left|\begin{array}{rcl}a &b &c\\b+c &c+a &a+b \\a^2 &b^2 &c^2\\\end{array}\right|.

我估熟練者很快會把第一行化做 a+b+c,再抽之,即

\left|\begin{array}{rcl}a+b+c &a+b+c &a+b+c\\b+c &c+a &a+b \\a^2 &b^2 &c^2\\\end{array}\right|

=(a+b+c)\left|\begin{array}{rcl}1 &1 &1\\b+c &c+a &a+b \\a^2 &b^2 &c^2\\\end{array}\right|

但對剛接解行列式特性的學生,未必如此想。當老師問,有人答

\left|\begin{array}{rcl}a &b-a &c-a\\b+c &a-b &a-c \\a^2 &b^2-a^2 &c^2-a^2\\\end{array}\right|

之後 (more…)

2017/01/10

某經典幾何題

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 5:03 下午
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三個大小不同的圓,沒有一個完全在另一個之內。對於每兩個圓,可畫出兩條公共外切線(common external tangents),及其交點,即下圖的 P,Q,R。

問: P,Q,R 共線(collinear)嗎?同學可以先探究一下(輕輕地改變 A 和 X 的位置吧~):

https://www.geogebra.org/m/WPk7sZUJ

(若有興趣知如何構作兩圓的外公共切線,可看文末的附錄*)

第一次接觸此題,大概在 1995 年,看以下數普書: (more…)

2016/07/26

相同特徵值及凱萊哈密頓

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 10:29 上午
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免插聲明:本文只是中學程度的討論,高手見諒。

續上個 post:

https://johnmayhk.wordpress.com/2016/07/22/flf-and-matrix/

M=\left(\begin{array}{rcl}a& b\\c& d\\\end{array}\right) 的特徵方程為 \det(M-\lambda I)=0,即

\lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc)=0

留意上式係數,

(a+d) 就是矩陣 M 的跡(trace),即對角元的和,也是特徵值的和(sum of roots);而

(ad-bc) 就是矩陣 M 的行列式(determinant),也是特徵值的積(product of roots)。

有時出題目,想弄一個 2×2 矩陣,其特徵值是(比方說)2 和 8,可以先寫 (more…)

2016/07/22

有理函數和矩陣

Filed under: NSS,Pure Mathematics,Teaching,University Mathematics — johnmayhk @ 12:06 下午
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Core mathematics 介紹過 rational function(有理函數),即形如 \frac{P(x)}{Q(x)} 者(其中 P(x)Q(x) 皆為多項式)。

P(x)Q(x) 皆為線性(linear),即形如 \frac{ax+b}{cx+d} 者,稱之曰 fractional linear function(FLF)。

中四教 function(函數)時,偶談下例,設 f(x)=\frac{ax+b}{cx+d},求 f(f(x))

解之曰

f(f(x))

=\frac{af(x)+b}{cf(x)+d}

=\frac{a\times \frac{ax+b}{cx+d}+b}{c\times \frac{ax+b}{cx+d}+d}

=\frac{(a^2+bc)x+b(a+d)}{c(a+d)x+bc+d^2}

仍舊是 FLF。

現看看 2×2 矩陣 (more…)

2016/05/01

證 Cramer’s rule (無言)

Filed under: Fun,NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 10:58 下午
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來自 The Mathematics Initiative, Education Development Center 的關於 Cramer’s rule 的無言證明:

johnmayhk-cramer-rule-1
johnmayhk-cramer-rule-2

兩句:

1.相信為了簡潔,不繪出 y\overrightarrow{b}z\overrightarrow{c},但繪與不繪,無關宏旨。
2.上式 det 計算的是平行六面體體積,而上圖兩個平行六面體之體積明顯相同,故推得結果。

把線性方程組賦予這個圖像意義,美麗!

2016/04/29

證 Cramer’s rule

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 12:04 上午

聽聞代課想向 M2 學生證明 Cramer’s rule,見他手執 n by n 的線性代數材料,並稱內容頗抽象云云,我沒說甚麼。

其實教純數時也略談,技巧不過是在不同的等式,刻意乘上 cofactors 再相加,以致產生 coefficient matrix 的 determinant 云云。

但對 M2 學生來說,估計不是太易,這裡試用 inverse matrix 來解釋,希望明啦~

因為是 M2,考慮 3 by 3 方程組已足夠,見下

\left \{ \begin{array}{ll} a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\a_2x+b_2y+c_2z=d_2\\a_3x+b_3y+c_3z=d_3\end{array}\right.

設所謂 coefficient matrix 為 (more…)

2016/02/28

冪和表成二項式係數

Filed under: Fun,NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 12:05 上午
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2016-01-30 在圖書館某小書的某附錄,見

johnmayhk-power-sum-01

似乎是很精巧的結果,匆匆抄下在顏冊分享,雖然自然數等冪和(Faulhaber’s formula)已是很舊的東西,參考

https://en.wikipedia.org/wiki/Faulhaber%27s_formula

但書沒有證明上圖中的結果,當時想, (more…)

2015/11/02

一個冇咩用嘅rule

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 1:53 下午
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積分沒有甚麼 product rule,除非特殊情況,比如:

u=u(x)v=v(x) 二次可導,若 \frac{d^2u}{dx^2}=au\frac{d^2v}{dx^2}=bv 其中 a,b 為常數;則

\int uvdx=\frac{1}{b-a}(u\frac{dv}{dx}-v\frac{du}{dx})+C

先唔證 (more…)

2015/09/22

質數定理

Filed under: Pure Mathematics,University Mathematics — johnmayhk @ 3:37 下午
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以前錯過了這個有趣的,關於質數定理的短片:

曾在複變課遇過質數定理的證明,偶看「數學資料庫」:

http://www.mathdb.org/articles/prime/c_prime.htm

才知它有初等證明。隨便網尋,見: (more…)

2015/09/13

一式過

Filed under: Pure Mathematics — johnmayhk @ 5:19 下午
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比如要寫出以下數列的通項

-1,1,-1,1,\dots

應該不難得出

(-1)^n

吧。(這樣假設上述數列的變化模式不變,一直都是「負 1 正 1」咁去。)

但還有沒有其他可能?

有的,比如 (more…)

2015/08/27

某 monic 多項式

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 10:09 上午
Tags: , ,

偶見高X論壇某題:

證明 x^4+x^3+x^2+x+1 > 0

回應者用了較麻煩的方法處理。

其實,當 x\ne 1(more…)

2015/08/16

某舊習題

Filed under: Additional / Applied Mathematics,Pure Mathematics — johnmayhk @ 4:25 下午
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不知大家曾否被數學題吸引?剛在書櫃找東西時,隨意翻閱我校某本過時的中學數學參考書(1942 年,第 5 版)

johnmayhk-tutorial-algebra-cover

偶見一道頗吸引我的中學數學題:

證明:

a+b+c=0

\frac{a^5+b^5+c^5}{5}=\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\cdot \frac{a^2+b^2+c^2}{2}

我只是被那公整的模樣吸引,其實這是一道純數的基本習題。但舊書用的是應數的方法,見下: (more…)

2015/02/17

數算球入盒

Filed under: mathematics,NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 11:40 上午
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基本問題:把若干球放入若干盒子,共多少種放法?下表是總結:

johnmayhk-balls-and-boxes-01

以下 3 個情況屬 core mathematics 的範圍:

(一) (more…)

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