# Quod Erat Demonstrandum

## 2020/02/28

### 正弦積

$\tan 1^o\tan 2^o\tan 3^o\dots \tan 88^o\tan 89^o$

$\tan \theta \tan (90^o-\theta) \equiv 1$

$\tan 1^o\tan 2^o\tan 3^o\dots \tan 88^o\tan 89^o$
$=(\tan 1^o\tan 89^o)(\tan 2^o\tan 88^o)\dots (\tan 44^o\tan 46^o)\tan 45^o$
$=1\times 1\times \dots \times 1$
$=1$

$\sin 1^o\sin 2^o\sin 3^o\dots \sin 88^o\sin 89^o$

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## 2019/05/10

### 線長乘積

Filed under: Pure Mathematics — johnmayhk @ 11:52 下午
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## 2019/02/01

### 帕斯卡三角某結果

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 5:35 下午
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$f^{[1]}(x)=f(x)$

$f^{[2]}(x)=f(f(x))$ (more…)

## 2018/03/22

### a question about inequality with derivatives

Filed under: Fun,mathematics,NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 3:46 下午
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Question

Let $p(x)$ be a polynomial with real coefficients. Prove that if $p(x)-p'(x)-p''(x)+p'''(x)\ge 0$ for any real $x$, then $p(x) \ge 0$ for any real $x$.

Solution (elementary) (more…)

## 2017/12/25

### 等邊三角形

Filed under: Junior Form Mathematics,Pure Mathematics — johnmayhk @ 12:13 下午
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e.g. 1

## 2017/08/13

### 最小值

Filed under: Additional / Applied Mathematics,NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 6:19 下午

$x\ge 3$

$x$ 的最小值是 3，

(more…)

## 2017/05/27

### 帕斯卡三角形某結果

Filed under: Fun,Pure Mathematics — johnmayhk @ 8:56 上午
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## 2017/04/21

### 三垂線定理

Filed under: mathematics,NSS,Pure Mathematics,University Mathematics — johnmayhk @ 12:56 下午
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（一）前言

## 2017/04/16

### 行列式特性

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 5:05 下午
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Factorize $\left|\begin{array}{rcl}a &b &c\\b+c &c+a &a+b \\a^2 &b^2 &c^2\\\end{array}\right|$.

$\left|\begin{array}{rcl}a+b+c &a+b+c &a+b+c\\b+c &c+a &a+b \\a^2 &b^2 &c^2\\\end{array}\right|$

$=(a+b+c)\left|\begin{array}{rcl}1 &1 &1\\b+c &c+a &a+b \\a^2 &b^2 &c^2\\\end{array}\right|$

$\left|\begin{array}{rcl}a &b-a &c-a\\b+c &a-b &a-c \\a^2 &b^2-a^2 &c^2-a^2\\\end{array}\right|$

## 2017/01/10

### 某經典幾何題

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 5:03 下午
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https://www.geogebra.org/m/WPk7sZUJ

（若有興趣知如何構作兩圓的外公共切線，可看文末的附錄*）

## 2016/07/26

### 相同特徵值及凱萊哈密頓

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 10:29 上午
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https://johnmayhk.wordpress.com/2016/07/22/flf-and-matrix/

$M=\left(\begin{array}{rcl}a& b\\c& d\\\end{array}\right)$　的特徵方程為 $\det(M-\lambda I)=0$，即

$\lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc)=0$

$(a+d)$ 就是矩陣 $M$ 的跡（trace），即對角元的和，也是特徵值的和（sum of roots）；而

$(ad-bc)$ 就是矩陣 $M$ 的行列式（determinant），也是特徵值的積（product of roots）。

## 2016/07/22

### 有理函數和矩陣

Filed under: NSS,Pure Mathematics,Teaching,University Mathematics — johnmayhk @ 12:06 下午
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Core mathematics 介紹過 rational function（有理函數），即形如　$\frac{P(x)}{Q(x)}$　者（其中 $P(x)$$Q(x)$ 皆為多項式）。

$P(x)$$Q(x)$ 皆為線性（linear），即形如　$\frac{ax+b}{cx+d}$　者，稱之曰 fractional linear function（FLF）。

$f(f(x))$

$=\frac{af(x)+b}{cf(x)+d}$

$=\frac{a\times \frac{ax+b}{cx+d}+b}{c\times \frac{ax+b}{cx+d}+d}$

$=\frac{(a^2+bc)x+b(a+d)}{c(a+d)x+bc+d^2}$

## 2016/05/01

### 證 Cramer’s rule (無言)

Filed under: Fun,NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 10:58 下午
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1.相信為了簡潔，不繪出 $y\overrightarrow{b}$$z\overrightarrow{c}$，但繪與不繪，無關宏旨。
2.上式 det 計算的是平行六面體體積，而上圖兩個平行六面體之體積明顯相同，故推得結果。

## 2016/04/29

### 證 Cramer’s rule

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 12:04 上午

$\left \{ \begin{array}{ll} a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\a_2x+b_2y+c_2z=d_2\\a_3x+b_3y+c_3z=d_3\end{array}\right.$

## 2016/02/28

### 冪和表成二項式係數

Filed under: Fun,NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 12:05 上午
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2016-01-30 在圖書館某小書的某附錄，見

https://en.wikipedia.org/wiki/Faulhaber%27s_formula