Quod Erat Demonstrandum

2016/06/14

正七邊形

Filed under: Fun — johnmayhk @ 12:07 上午
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如無必要都唔想拍片,超累的說:

(習題)從片中某些結果不難推出以下命題: (more…)

2016/06/13

變易圖式

Filed under: Teaching — johnmayhk @ 2:44 下午
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在教大上了一兩課節「變易理論」(variation theory),當中 V3 是關於教學設計的主導原則「變易圖式」(pattern of variation),希望透過四種辨識體驗:對比(contrast)﹑區分(separation)﹑類比(generalization)和融合(fusion)以刺激學生對新知識或技巧之覺知。

比如要學「紅色」這個概念,可呈現紅色及非紅色的東西,此之謂「對比」:

johnmayhk-v3-1-contrast (more…)

2016/06/09

正三角

Filed under: Fun — johnmayhk @ 11:34 上午
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答網友

其他方法,見: (more…)

2016/06/06

和扇形有關的某積分

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 12:27 下午
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以積分求面積,基本概念也。

故不用真正去計算,只要明白

\displaystyle \int^1_0\sqrt{1-x^2}dx

代表四分一個單位圓的面積,立即知

\displaystyle \int^1_0\sqrt{1-x^2}dx=\frac{\pi}{4}

改變積分上限為 t,M2 同學也懂計算

\displaystyle \int_0^t\sqrt{1-x^2}dx (其中 0 < t < 1

x=\sin\theta 又或用部分積分吧。但以圖示之,求上述積分,即是求下圖著色部分面積:

johnmayhk-intefrate-square-root-of-one-minus-x-square (more…)

2016/05/15

和費波那契數列有關的一個遊戲

Filed under: Fun,Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 1:39 上午

講開費波那契數列,多談一例。

上次介紹過 nim 這個古舊遊戲,見下:

https://johnmayhk.wordpress.com/2013/06/18/just-a-game/

介紹返,手機 apps 免費玩,搜尋 "nim" 便可(但現世云云手機遊戲,還有小朋友會下載這個嗎?):

johnmayhk-nim-apps

今次把這個 2 人遊戲,略改規則如下:開始時有 n 個包子。第一個玩家至少取一個,但不能全取。之後輪流取包,規則是至少取一個包,也可取任何數目的包,只要取包數目不超過對手之前取包數目的兩倍。取最後一個包者勝。

比如,n = 15,甲乙對賽,甲先取。

甲取 2 個(餘 13 個)
乙不能取多於 4 個,乙取 4 個(餘 9 個)
甲不能取多於 8 個,甲取 1 個(餘 8 個)
乙不能取多於 2 個,乙取 1 個(餘 7 個)
甲不能取多於 2 個,甲取 2 個(餘 5 個)
乙不能取多於 4 個,乙取 3 個(餘 2 個)
甲不能取多於 6 個,甲取 2 個(餘 0 個)
甲勝。

原來如果 n 不是費波那契數,甲有必勝法;但如果 n 是費波那契數,則乙有必勝法。 (more…)

2016/05/11

[ViuTV] 《走進東。西教室》

Filed under: Fun,Report — johnmayhk @ 9:13 下午
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來自 ViuTV 節目《經緯線》有關教育的紀錄短片,追踪來自香港、芬蘭和上海的三個小學生,反映三地不同的教育制度及價值觀。誠意製作,值得推介:

《走進東。西教室》之《上學為甚麼?》
http://viu.tv/encore/now-report#now-reporte2jau-jun-dung-sai-gaau-sat-ji-seung-hok-wai-sam-moh

《走進東。西教室》之《芬蘭 學習快樂》
http://viu.tv/encore/now-report#now-reporte3jau-jun-dung-sai-gaau-sat-ji-fan-laan–hok-jaap-faai-lok

《走進東。西教室》之《沒有功課時》
http://viu.tv/encore/now-report#now-reporte4jau-jun-dung-sai-gaau-sat-ji-moot-yau-gung-foh-si

2016/05/10

費波那契鐘

Filed under: Fun,Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 11:56 下午
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已在 draft 一年,清理一下,這是有關費波那契鐘(The Fibonacci Clock)的介紹:

鐘面分別由邊長為 1,1,2,3,5 個單位的正方形組成,那些數字,一望而知是費波那契數列。費波那契鐘的設計是每 5 分鐘報報時,閱讀時間的方法可見下例:

fc01

紅色代表小時,綠色代表分鐘,藍色代表小時和分鐘都要算。

左圖:紅色有邊長為 1 及 5 的正方形,藍色有代表 3 的正方形,故此小時數是 1+5+3=9;綠色有代表 2 的正方形,故此分鐘數是 (2+3)x5=25;所以時間是 9:25。
中圖:紅色 0 個,藍色有代表 5 的正方形,故此小時數是 0+5=5;綠色有分別代表 1,3 的正方形,故此分鐘數是 (1+3+5)x5=45;所以時間是 5:45。
右圖:紅色有分別代表 2,5 的正方形,故此小時數是 2+5=7;綠色 0 個,故此分鐘數是 0;所以時間是 7:00。

費波那契鐘已是推出市場的產品,以下連結有詳細報導(有片): (more…)

2016/05/08

畢氏定理(無言)

Filed under: Fun,Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 9:08 下午

不知是否很多家長也不希望兒女看文字少圖片多的書本?但介紹返,有關 Proofs without words 的書是,雖然多圖少字,但其實很益智的。以下是來自 Leonardo da Vinci 的關於畢氏定理的無言證明,一圖證完,不需文字,盡在不言:

johnmayhk-proof-without-words-Pythagoras-1

看不明白可參考:

https://dl.dropboxusercontent.com/u/19150457/johnmayhk/johnmayhk-proof-without-words-Pythagoras.html

這不過是云云眾多證明中的一個,同學有興趣可找更多看看~

2016/05/01

證 Cramer’s rule (無言)

Filed under: Fun,NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 10:58 下午
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來自 The Mathematics Initiative, Education Development Center 的關於 Cramer’s rule 的無言證明:

johnmayhk-cramer-rule-1
johnmayhk-cramer-rule-2

兩句:

1.相信為了簡潔,不繪出 y\overrightarrow{b}z\overrightarrow{c},但繪與不繪,無關宏旨。
2.上式 det 計算的是平行六面體體積,而上圖兩個平行六面體之體積明顯相同,故推得結果。

把線性方程組賦予這個圖像意義,美麗!

2016/04/29

證 Cramer’s rule

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 12:04 上午

聽聞代課想向 M2 學生證明 Cramer’s rule,見他手執 n by n 的線性代數材料,並稱內容頗抽象云云,我沒說甚麼。

其實教純數時也略談,技巧不過是在不同的等式,刻意乘上 cofactors 再相加,以致產生 coefficient matrix 的 determinant 云云。

但對 M2 學生來說,估計不是太易,這裡試用 inverse matrix 來解釋,希望明啦~

因為是 M2,考慮 3 by 3 方程組已足夠,見下

\left \{ \begin{array}{ll} a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\a_2x+b_2y+c_2z=d_2\\a_3x+b_3y+c_3z=d_3\end{array}\right.

設所謂 coefficient matrix 為 (more…)

2016/04/07

log y to the base a

Filed under: Fun,mathematics — johnmayhk @ 4:11 下午

(想畫公仔,不喜勿插)

15,16 世紀某天。三條書局友,在表面寧靜的式子…

有暗湧,

有人唔得掂,好唔順氣…
(more…)

2016/03/22

正三角頂點軌跡

Filed under: Junior Form Mathematics,NSS — johnmayhk @ 12:45 下午

設定線 L,並不在其上的定點 O。

johnmayhk-equilateral-triangle1

在 L 上任意取點 Q,再畫出等邊三角形 OPQ。若 Q 在 L 上運行,問 P 點軌跡是甚麼?

點擊以下連結,猜猜看:

https://www.geogebra.org/material/simple/id/2967699

開估了: (more…)

2016/03/21

用D證trigo

Filed under: Additional / Applied Mathematics,NSS — johnmayhk @ 11:13 上午
Tags: ,

某 M2 題…

Prove the following identity

\cos^2x+\cos^2(x+y)-2\cos y\cos x\cos(x+y)=\sin^2y.

試試"D吓佢"… (more…)

2016/03/18

Filed under: Fun — johnmayhk @ 2:49 下午

純數或附加數有教圓錐曲線,學生會知,比方說

\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1

的圖像是橢圓形(ellipse)。

有人稱橢圓形為鵝蛋形,但一般雞蛋,其形狀上尖下闊,不是橢圓,那麼「雞蛋方程」是甚麼?

畫雞蛋可以是不錯的美術或/和數學活動,初教書時都教過學生畫 (more…)

2016/02/28

冪和表成二項式係數

Filed under: Fun,NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 12:05 上午
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2016-01-30 在圖書館某小書的某附錄,見

johnmayhk-power-sum-01

似乎是很精巧的結果,匆匆抄下在顏冊分享,雖然自然數等冪和(Faulhaber’s formula)已是很舊的東西,參考

https://en.wikipedia.org/wiki/Faulhaber%27s_formula

但書沒有證明上圖中的結果,當時想, (more…)

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