Quod Erat Demonstrandum

2018/04/17

互斥與獨立

Filed under: NSS — johnmayhk @ 12:37 下午
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免插聲明:純粹記錄某堂的片段,高手見諒。

今天上中五數學堂頗開心,可以和同學多點交流。剛開始談條件概率(conditional probability),有同學看到兩個分開的圈圈代表的事件:

問它們是彼此獨立的事件(independent events)嗎?

因為從圖看來,兩件事似乎不會影響對方。

這看法似乎頗合理:兩個東西分開,它們就冇影響,冇關。可是,數學上談獨立,另有所指; (more…)

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2018/03/21

某求導題

Filed under: Additional / Applied Mathematics,NSS — johnmayhk @ 3:29 下午
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早前中四測驗某題:

If \displaystyle \sqrt{x^3+y^3}=6(xy+1), find \displaystyle \frac{dy}{dx} at (1,-1).

建議答案如下:兩邊取平方

\displaystyle x^3+y^3=36(xy+1)^2

\displaystyle \Rightarrow \frac{d}{dx}(x^3+y^3)=\frac{d}{dx}36(xy+1)^2

從而得

\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{24xy^2+24y-x^2}{y^2-24x^2y-24x}

所以,

\displaystyle \frac{dy}{dx}|_{(1,-1)}=-1

但有學生給出以下解: (more…)

2018/03/05

度數弧度微積分

Filed under: Additional / Applied Mathematics,NSS — johnmayhk @ 12:10 下午
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(免插聲明:本篇頗無聊,高手見諒)

請問

\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x at x=0^o

是多少?

M2 學生應知

\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x=\cos x

代入 x=0^o,得

\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x=\cos 0^o=1

完。

但 \displaystyle \frac{d}{dx}\sin x=\cos x 是基於考慮 x 是以弧度(radian)量度下的產物,若題目的 x 是以度數(degree)量度如何? (more…)

2017/04/21

三垂線定理

Filed under: mathematics,NSS,Pure Mathematics,University Mathematics — johnmayhk @ 12:56 下午
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(一)前言

第一次聽「三垂線定理」,大抵是今年二月在大同的群組:

第二次聽「三垂線定理」是 (more…)

2016/07/10

論商餘(三)

Filed under: mathematics,NSS,Teaching — johnmayhk @ 9:45 下午
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一. 帶餘除法

(a) 多項式與數字

聞說以下是某校的試題:

一看,個心離一離。 (more…)

2015/09/23

兩數相等

Filed under: Fun — johnmayhk @ 5:43 下午
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閒時證明吓 1=2 之類的東西,學生可能會醒一醒。

比如教配方法時,可以問問學生喜歡哪兩個數?例如 8 和 9,那麼我們就可以「證明」:8 等於 9,如下:

8\times 9=9\times 8

\Rightarrow 8\times (17-8)=9\times (17-9)

\Rightarrow 8\times 17-8^2=9\times 17-9^2

\Rightarrow 8^2-8\times 17=9^2-9\times 17

\Rightarrow 8^2-8\times 17+(\frac{17}{2})^2=9^2-9\times 17+(\frac{17}{2})^2

(配方法了) (more…)

2015/09/09

平行四邊形面積

Filed under: NSS — johnmayhk @ 7:54 下午
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教三角形面積時,問:「底乘高除 2」公式何來?學生答曰:平行四邊形面積之半。似乎學生都有兩個全等三角形拼成一個平行四邊形的概念,於是我叫他們參考下圖,如何證明平行四邊形面積是 bh

一個簡單看法

考慮一個梯形的文件夾(folder),內面放了一張梯形的紙:

把紙從右至左拉出來,見:

易知,拉出來的紙是平行四邊形。 (more…)

2015/08/03

小學三角題

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 4:34 下午
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Whatsapp 傳來同事阿仔的暑期功課:在釘板上圍出一個等邊三角形

johnmayhk-equilateral-triangle

我心諗:點解要咁樣玩啲小學生(及其家長)? (more…)

2015/07/03

帶分數惹的禍

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 9:53 上午
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小學時

2\frac{1}{3}-2=\frac{1}{3}

世界多美好。

但到中二,

2\sqrt{3}-2

就有學生寫 (more…)

2015/03/05

三角形內切圓

Filed under: NSS — johnmayhk @ 10:48 上午
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以下是同事擬的某 MC 題目:直角三角形內有兩圓相切,三角形邊亦是圓的切線,問較小的圓之半徑多長?(見下圖。我懶,只用手機隨便畫,見諒)

johnmayhk-2015mc1

在對卷時同事問,內切圓可以類似模式生成,即

johnmayhk-2015mc2

那麼,有關半徑的數列是否等比數列(G.S.)? (more…)

2015/02/21

表面面積

Filed under: Fun,Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 7:47 下午
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古語有云:「我鍾意食水果,每一個國家必須要食。」過年期間更要多吃水果,有助消化。

受網友啟發,兼剛開始教球體表面面積,於是找來一個乜乜乜橙:

johnmayhk-orange-sphere-1 (more…)

2015/02/20

鈄截柱體體積

Filed under: Junior Form Mathematics,NSS,Physics — johnmayhk @ 8:25 下午
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1.緣起

某次中三共同備課堂,同事甲提出證明錐體體積的方法,如下:

考慮一個鈄截正三角柱體(truncated right triangular prism),即三條側棱皆與底垂直者:

johnmayhk-volume-3

設側棱長度分別為 h_1,h_2,h_3。因其體積是底面積 A 乘以「平均高度」,即鈄截正三角柱體的體積為

V=A\frac{h_1+h_2+h_3}{3}

於是對於錐體,其底面積為 A,高為 h 者,

johnmayhk-volume-4

只要代入 h_1=h_2=0h_3=h,便知其體積是

V=A\frac{0+0+h}{3}=\frac{1}{3}Ah (more…)

2014/07/14

小孩算術

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 1:30 下午
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聞外國教小朋友算術是重「明白」,輕「算法」。

比如計算

1000 – 798

不是教甚麼「直式」、「借位」,而是:

johnmayhk-kid-subtraction1 (more…)

2014/06/16

積分二三事

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 11:50 下午
Tags: ,

1.

同事提我,求

\int \frac{dx}{1-x^2}

時,如果設

x=\sin \theta(或 x=\cos \theta

之類是錯的。

雖然 (more…)

2013/06/16

剪報:中文數學

Filed under: Fun — johnmayhk @ 7:31 下午
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偶爾找到《東方日報》副刊「豪筆起」的幾篇,作者歐陽偉豪。短文應和中文數學用語有關,貼來參考。

2013-05-24
johnmayhk-by01 (more…)

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