Quod Erat Demonstrandum

2016/02/28

冪和表成二項式係數

Filed under: Fun,NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 12:05 上午
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2016-01-30 在圖書館某小書的某附錄,見

johnmayhk-power-sum-01

似乎是很精巧的結果,匆匆抄下在顏冊分享,雖然自然數等冪和(Faulhaber’s formula)已是很舊的東西,參考

https://en.wikipedia.org/wiki/Faulhaber%27s_formula

但書沒有證明上圖中的結果,當時想, (more…)

2016/02/20

nHk

Filed under: NSS — johnmayhk @ 8:33 上午
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之前談過 H^n_k,早前見以下關係:

\displaystyle \sum^n_{k=0}H^n_k=H^{n+1}_n

本來想透過數算來證,但不好想, (more…)

2016/01/25

(a+b) 的 4 次

Filed under: Fun — johnmayhk @ 3:29 下午
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前言

早前在顏冊貼有關以圖像說明二項式定理(visualization of binomial theorem)的圖像:

Binomial_theorem_visualisation.svg

因朋友不明白 (a+b)^4 的情況,現略談。

定義

現定義四維超長方體之體積。 (more…)

2015/02/03

玩 nCr

Filed under: Fun,NSS — johnmayhk @ 3:30 下午
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網遊時偶見有個結果:

C^{m+n}_2=C^m_2+C^n_2+mn

若要學生證之,他們或以

C^n_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}

作代數運算。

但以數算(counting)概念處理,甚易。

count-clipart-royalty-free-counting-clipart-illustration-1048674

只要(比方說)考慮 (more…)

2014/02/11

二項極限

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 3:16 下午
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某顏冊頁見以下結果:

johnmayhk-binomial-limit
(圖片來源:Mathematics)

在留言中提到

“…is a recently discovered beauty, probably in 2012…"

頓時有種叫人肅然起敬之感,但其實 (more…)

2014/02/03

卡塔蘭

Filed under: Fun,NSS — johnmayhk @ 1:11 上午
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埋於 draft 多年,趁假期決心寫這篇。

先去片

有玩組合學的朋友相信對短片中的數列

1,1,2,5,14,42,…

絕不陌生。

同學,你可否猜到上述數列的通項(general term)是甚麼? (more…)

2010/03/27

normal approximation to binomial probabilities

那天上八堂(兩堂中四,兩堂中六,四堂對卷),加午飯及放學開會,再加之前凌晨時份「衝改」模擬試卷(遲下 OSM,即 onscreen marking,老師限時限刻限地點改卷,不能再在凌晨[對於我來說是很好的工作時間]工作了),再再加上有兄弟學校的學生在當天做交換生上我的應數堂,理應準備一些好東西;但一切都因在下極度疲憊忙碌,完全沒有備課;導致當天我想用電腦顯示以 normal distribution 近似 binomial distribution 時,才知學校電腦不能安裝 Java 而不能看到這個模擬。可惜。不過 (more…)

2008/11/21

Exist or does not exist

Is giving hints a good way to help students in solving mathematics problems? Urm, sometimes it may not.

Here is a common m.i. question in recent F.4 additional mathematics regular test:

Show that n^3 - n + 3^n is divisible by 3 for any positive integer n. (more…)

2008/10/17

不能秒殺的提問

在堂上,一般情況下,學生提問,在下多半手起刀落,秒殺解之。今天 4E 同學問了兩個問題,在下不能秒殺:

1. 誰發明 _nC_r 這個符號?
2. 畢氏數組中是否必然存在 3 或 5 的倍數? (more…)

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