Quod Erat Demonstrandum

2019/05/10

線長乘積

Filed under: Pure Mathematics — johnmayhk @ 11:52 下午
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考慮單位圓內接正多邊形,比如正方形

由某點(比方說 A)出發,連起其他頂點,得出 3 條線段,其長度分別為 2, \sqrt{2}, \sqrt{2},故乘積(product)為 4。

對於五邊形

由某點出發連起其他頂點,得出 4 條線段,那麼線段長度的乘積如何? (more…)

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2019/02/01

帕斯卡三角某結果

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 5:35 下午
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早前貼了下圖

本文談如何推出上述結果。

對於函數 f(x)

f^{[1]}(x)=f(x)

f^{[2]}(x)=f(f(x)) (more…)

2017/12/25

等邊三角形

Filed under: Junior Form Mathematics,Pure Mathematics — johnmayhk @ 12:13 下午
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中學時遇上一些數題,特別有印象,這次談有關等邊三角形。

e.g. 1

下圖 \Delta AED\Delta ABC\Delta BFE 皆為等邊三角形

證明 CDEF 是平行四邊形。

只要看到當中的全等三角形,見下圖紅色者: (more…)

2017/06/23

實數問題複數解決

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 3:43 下午
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幾個月前的中學數學科諮詢文件見 M1,M2 外的 Further Mathematics 內容,重遇會考附加數學一些內容:

運用當中一個特性 z\overline{z}=|z|^2,輕易得出下式:

(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2

式子在說:平方和的積,仍是平方和。

現在的中學生,大部分不會知道甚麼是 (more…)

2015/09/13

一式過

Filed under: Pure Mathematics — johnmayhk @ 5:19 下午
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比如要寫出以下數列的通項

-1,1,-1,1,\dots

應該不難得出

(-1)^n

吧。(這樣假設上述數列的變化模式不變,一直都是「負 1 正 1」咁去。)

但還有沒有其他可能?

有的,比如 (more…)

2015/08/27

某 monic 多項式

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 10:09 上午
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偶見高X論壇某題:

證明 x^4+x^3+x^2+x+1 > 0

回應者用了較麻煩的方法處理。

其實,當 x\ne 1(more…)

2014/02/20

平方和

Filed under: Fun — johnmayhk @ 11:44 下午
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隨便考慮 n 個正整數

a_1,a_2,a_3,\dots a_n

b=\sqrt{a_2^2+a_3^2+\dots +a_n^2}

(a_1+bi)^m=P+Qi

其中 m 是正整數,i^2=-1,那麼我們必有 (more…)

2012/05/01

無聊談通項

那天觀課,同事開始教等差數列(arithmetic sequence),(估計是隨便)問學生:

2,1,4,\frac{1}{2},8,\frac{1}{4},\dots

的通項(general term)是甚麼?

關於通項,之前也談過,除非先有「特殊規定」,否則所謂通項是無定義的。

談回上題,假設同事的「特殊規定」是把兩個等比數列(geometric sequence)併在一起。當然,學生在中一時接觸過數型(number pattern),但要寫出上述數列的通項,似乎不是一蹴而就的事。因那是引起動機的其中一例,同事沒有繼續討論,但卻引發我思考一些東西。

只要時間許可,相信學生不難得到: (more…)

2012/02/26

答網友:y=z^2

Filed under: HKALE,Pure Mathematics — johnmayhk @ 6:29 下午
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以下是網友在 2011-03-06 的提問:

By considering

(1+z)^8+(1-z)^8=0

show that

\displaystyle\sum_{k=0}^7 \tan^2\frac{(2k+1)\pi}{16}=56

不難 (more…)

2012/01/20

arctan,pi,complex numbers

Filed under: mathematics,Pure Mathematics — johnmayhk @ 12:02 下午
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式子

\pi=\tan^{-1}1+\tan^{-1}2+\tan^{-1}3

美麗嗎?我比較多見的形式是

\tan^{-1}(\frac{1}{2})+\tan^{-1}(\frac{1}{3})=\frac{\pi}{4}

(易知 \tan^{-1}(\frac{1}{n})+\tan^{-1}(n)=\frac{\pi}{2},故上述兩式等價。)

以圖來證明上式,可以考慮 (more…)

2011/11/26

利用複數尋寶

Filed under: Fun,Pure Mathematics — johnmayhk @ 4:51 下午
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此刻,純數還欠複數(complex numbers)這個課題未教完。當完成後,課題中精采之處,將長埋「新」高中之墓塚。

同事問:複數有沒有有趣的幾何應用?很多,這裡舉一個經典例子。

海盜留下藏寶位置之提示:

島上有一個絞刑架,一棵橡樹及一棵松樹。

由絞刑架出發前往橡樹, (more…)

2011/11/18

polar form

Filed under: Pure Mathematics — johnmayhk @ 11:46 上午
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基礎題:

Convert z=-\cos \theta -i\sin\theta into polar form.

問:「在何象限,cosine 和 sine 值也是負?」 (這是極不精確的說法,但學生又明我說甚麼。)

答:「第三。」 (more…)

2011/03/02

當 x 接近零,(1+1/x)^x 如何?

Filed under: Pure Mathematics — johnmayhk @ 5:07 下午
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課堂上,我通常會談「非例子」。

比如教(講)了

\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}(1+\frac{1}{x})^{x} = e

隨即問

\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}(2+\frac{1}{x})^{x} = ?

這個易,再問

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}(1+\frac{1}{x})^{x} = ?

學生 (more…)

2009/10/26

利用圖像尋找非實根

Filed under: HKALE,NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 8:24 下午
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在高中一 NSS 數學課,我開始教二次圖像和二次方程之根(roots)的關係。現在課程涉及複數,卻沒有教如何利用圖像尋找複根(complex roots)或非實根(unreal roots),我在此補充一下。

以下是在下用極速粗製濫造的 ETV,同學先看看:

解說: (more…)

2009/09/29

今天雜記

Filed under: Life,mathematics,NSS,School Activities — johnmayhk @ 11:02 下午
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難以轉化

科主任擬了兩班高中一 M2 的聯測卷,其中有一道題目只有三名學生懂得處理:

Given that x and y are purely imaginary numbers. If (x + y) + (2x - y)i = 12 - i, find (the values of) x and y. (more…)

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