Quod Erat Demonstrandum

2017/03/17

不排在一起

Filed under: NSS — johnmayhk @ 1:58 下午
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講兩題。

1. m 男 n 女排 1 行

(a) 若女不排在一起,排列數是?

先放置 m 男,共 m! 種排列。

男旁留一空位放置女,共 (m+1) 空位。

情況 1: (more…)

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2016/08/08

點解2

Filed under: Fun,mathematics — johnmayhk @ 11:12 下午
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1+2+3+\dots +(n-1)+n+(n-1)+\dots +3+2+1=?

簡單

\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n-1)n}{2}=n^2

是也。

如果變成中四 M2 的 MI 習題:

利用數學歸納法證明,對於任何正整數 n

1+2+3+\dots +(n-1)+n+(n-1)+\dots +3+2+1=n^2

不知同學會否覺得不太容易? (more…)

2015/12/03

至少要有 1 女

Filed under: NSS — johnmayhk @ 1:37 下午
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有 18 男,12 女。在這 30 人中隨意選 8 人,若至少要有 1 女被選,問共有選法組合多少?

學生說:先選出一女,共 C^8_1 種選法。再在餘下的 29 人選 7 個,選法共 C^{29}_7 種。故符合要求的選法有

C^8_1C^{29}_7

咁計有咩問題?

我:問題就係重覆數算 (more…)

2015/07/07

某關於整除的題

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 3:06 下午
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證明

對於任何正整數 n

(n^2)!

必能被

(n!)^{n+1}

整除。

解答
(more…)

2015/04/06

平鋪

Filed under: Fun — johnmayhk @ 11:23 下午
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domino-square_0

把 1*2 骨牌(domino)平鋪在 3*2 的棋盤上,共 3 種方式,見下:

johnmayhk-tiling1

可否把 1*2 骨牌平鋪在 3*3 的棋盤上?不能。

把 1*2 骨牌平鋪在 3*4 的棋盤上,共多少種方式?不難想像包括以下 3*3=9 種方式: (more…)

2015/03/03

數算簡單分組

Filed under: NSS — johnmayhk @ 11:27 上午
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簡單分組問題,作溫習之用:

設有 {A,B,C,D,E,F} 6 人 ,問下面各個情況共有多少組合/排列方式?

(a) 分 3 組,甲組 3 人,乙組 2 人,兩組 1 人
(b) 分 3 組,一組 3 人,一組 2 人,一組 1 人;及後,一組稱為甲組,一組稱為乙組,一組稱為丙組
(c) 分 3 組,一組 3 人,一組 2 人,一組 1 人
(d) 分 3 組,甲組 2 人,乙組 2 人,兩組 2 人
(e) 分 3 組,每組 2 人;及後,一組稱為甲組,一組稱為乙組,一組稱為丙組
(f) 分 3 組,每組 2 人
(g) 分 3 組排隊,每組 2 人
(h) 分 3 組排隊,每組 2 人;及後,一組稱為甲組,一組稱為乙組,一組稱為丙組

解?click 以下連結: (more…)

2015/02/17

數算球入盒

Filed under: mathematics,NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 11:40 上午
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基本問題:把若干球放入若干盒子,共多少種放法?下表是總結:

johnmayhk-balls-and-boxes-01

以下 3 個情況屬 core mathematics 的範圍:

(一) (more…)

2015/02/03

玩 nCr

Filed under: Fun,NSS — johnmayhk @ 3:30 下午
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網遊時偶見有個結果:

C^{m+n}_2=C^m_2+C^n_2+mn

若要學生證之,他們或以

C^n_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}

作代數運算。

但以數算(counting)概念處理,甚易。

count-clipart-royalty-free-counting-clipart-illustration-1048674

只要(比方說)考慮 (more…)

2015/02/01

黑白球

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 10:33 上午
Tags: , ,

同事擬某基本概率題:

In a game, Evan has to draw balls from a bag containing 2 black balls and 3 white balls one by one without replacement. If he gets two consecutive black balls, he wins; otherwise he loses. Find the probability that he wins.

標準答案如下:

P(wins)
=P(BB)+P(WBB)+P(WWBB)+P(WWWBB)
=\frac{2}{5}\frac{1}{4}+\frac{3}{5}\frac{3}{4}\frac{2}{3}+\frac{3}{5}\frac{2}{4}\frac{2}{3}\frac{1}{2}+\frac{3}{5}\frac{2}{4}\frac{1}{3}
=\frac{2}{5}

有沒有留意,盒內共有 5 球,黑球 2 個,\frac{2}{5} 就是從盒取 1 球,得黑球之機會。

試用別的例:盒內共有 7 球,黑球 3 個,Evan 取勝之機會,按標準答案之做法:

\frac{3}{7}\frac{2}{6}+\frac{4}{7}\frac{3}{6}\frac{2}{5}+\frac{4}{7}\frac{3}{6}\frac{3}{5}\frac{2}{4}+\frac{4}{7}\frac{3}{6}\frac{2}{5}\frac{3}{4}\frac{2}{3}+\frac{4}{7}\frac{3}{6}\frac{2}{5}\frac{1}{4}=\frac{3}{7}

看,又是等於在盒子取 1 球,得黑球之機會。

black white balls

這逼使我想:是否存在簡單方法處理原問題及其一般情況?結果如下。 (more…)

2015/01/23

某數算題

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 5:34 下午
Tags: , ,

Just reply to a F.5C student on a basic core mathematics question (on P.5.38):

There are 8 outstanding students from junior forms and 9 outstanding students from senior forms in a school this year. 5 out of these 17 students are now selected for an overseas exchange programme. Find the number of combinations of selecting at least 1 student from junior forms and 1 from senior forms.

Here is the ‘so-called’ solution from a student:

_8C_1\times _9C_1\times _{15}C_3

as the student claimed, select 1 from junior, _8C_1 ways; select 1 from senior, _9C_1 ways; then select the remaining 3 students from the remaining 15 students, _{15}C_3 ways, hence, the total number of combination should be _8C_1\times _9C_1\times _{15}C_3, right?

Sorry, it is incorrect. (more…)

2015/01/08

被 8 整除

Filed under: Fun,mathematics — johnmayhk @ 2:08 下午
Tags: , ,

1.問題

證明對於任何正整數 n

n^4+2n^3+3n^2+2n

必可被 8 整除。

2.解答

(a)

本來利用 Mathematical Induction (M.I.) 來證明是很輕易的,但現在的 M2 課程已刪除了整除性,相信中四五的同學,要解題不易。

只寫 P(k)\Rightarrow P(k+1) 這步: (more…)

2014/09/07

數算題

Filed under: NSS — johnmayhk @ 12:13 下午
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以下是純數某基本題,證明

nC^{2n-1}_{n-1}=(C^n_1)^2+2(C^n_2)^2+3(C^n_3)^2+\dots +n(C^n_n)^2

現在用 core mathematics 的方法處理。

(more…)

2014/08/10

簡單數算

Filed under: Fun,Junior Form Mathematics,NSS — johnmayhk @ 11:44 下午
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欣賞數學,有時不是結果,而是在乎過程:美麗證明。

上次談過利用數算來證明

1+2+3+\dots +(n-1)=C^n_2

https://johnmayhk.wordpress.com/2011/12/21/simple-counting/

現在談另一個。

考慮下圖

johnmayhk-triangular-binomial-1 (more…)

2014/02/21

某概率題

Filed under: NSS — johnmayhk @ 3:15 下午
Tags: ,

同事擬一道題:

某作業有 11 題,老師選了 4 題作為家課。

小明沒有記下老師選定的題目,只是隨便找 6 題做之。

問該 6 題包含了老師選定的 4 題之概率。

這是標準題,同事的解如下:

小明在 11 題選 6 題,可有 C_6^{11} 種情況。

該 6 題包含了老師選定的 4 題,另外 2 題可從 11 – 4 = 7 題中選出,共 C_2^7 種情況。

於是,要求的概率為

\frac{C_2^7}{C_6^{11}}

可是,學生給的解如下: (more…)

2014/02/03

卡塔蘭

Filed under: Fun,NSS — johnmayhk @ 1:11 上午
Tags: ,

埋於 draft 多年,趁假期決心寫這篇。

先去片

有玩組合學的朋友相信對短片中的數列

1,1,2,5,14,42,…

絕不陌生。

同學,你可否猜到上述數列的通項(general term)是甚麼? (more…)

後一頁 »

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