Quod Erat Demonstrandum

2016/03/21

用D證trigo

Filed under: Additional / Applied Mathematics,NSS — johnmayhk @ 11:13 上午
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某 M2 題…

Prove the following identity

\cos^2x+\cos^2(x+y)-2\cos y\cos x\cos(x+y)=\sin^2y.

試試"D吓佢"… (more…)

2014/12/19

某些M2題

Filed under: NSS — johnmayhk @ 9:30 下午
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早前匆匆取書商的題給學生練習。或許書商出版時也是匆匆而往,有些問題可能有些問題:

Q.1
johnmayhk-fail-3

解題時見 \sin^4\theta-\cos^4\theta,我第一時間問:\sin\theta\cos\theta 哪個較大?

當寫出 sum of roots:

\sin\theta+\cos\theta=\frac{7}{3} 時,同學已指出:冇可能!因為 \sin\theta\cos\theta 的最大值不過是 1。

此題報廢。

Q.2
johnmayhk-fail-1

解題如下: (more…)

2014/11/14

M2 堂偶拾

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 8:19 下午
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linear_algebra_for_game_developers
教 vector 時,堂上偶得:

1.

\cos^{-1}\frac{4}{5}+2\tan^{-1}\frac{1}{2}=90^o

其實沒有甚麼特別,只要考慮邊長 1 單位的正方形如下:

johnmayhk-20141114

比如利用 vector 或 cosine formula,不難得 (more…)

2014/08/08

利用比較係數做積分

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 12:16 上午
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之前談過積分的某技巧,見

https://johnmayhk.wordpress.com/2012/02/07/integration-by-parts/

現談另一個。

例 1

考慮多項式 P(x),易知

\frac{d}{dx}P(x)e^x=(P(x)+P'(x))e^x

注意到

P(x)P(x)+P'(x) 皆是多項式,且它們的次數(degree)相同,

換言之 (more…)

2014/06/11

M2 某題

Filed under: Additional / Applied Mathematics,NSS — johnmayhk @ 9:06 上午
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M2 學生問以下一題

The slope at any point (x,y) of a curve is given by

\frac{dy}{dx}=y(2x+9).

If the curve lies above the x-axis, and it passes (0,8), find the equation of the curve.
(more…)

2014/05/16

證明某級數

Filed under: Fun,Pure Mathematics — johnmayhk @ 11:00 下午
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早前在網上見下圖

johnmayhk-r-f

聞說上式曾走進 Ramanujan 的夢中。

其實曾修讀中學純數的同學也懂得證明上式。

第一步是把 (more…)

2013/09/27

D兩次是零的非拐點一定是極大或極小點嗎

Filed under: NSS — johnmayhk @ 4:55 下午
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剛教 point of inflection(拐點/反曲點/反趨點),或許談到

y=x^4

時,易知

\frac{d^2y}{dx^2}=12x^2

雖有

\frac{d^2y}{dx^2}|_{x=0}=0

但因 \frac{d^2y}{dx^2}x=0 的左右皆是正數,同號(same sign),故 (0,0) 不是拐點。

同學再觀察 y=x^4 之圖象如下:

johnmayhk-x-power4

易知 (more…)

2013/06/16

f4 m2 revision

Filed under: NSS — johnmayhk @ 6:39 下午
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(免插聲明:純為中四同學溫習用,高手見諒。)

同學應該頗掌握乘冪法則(Power rule):

\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}

留意,x^n 當中的基(base)是變量 x,而冪(power)是常數 n

一旦遇上冪或/和基是變量時,比如

\frac{d}{dx}(n^x)

\frac{d}{dx}((\ln x)^x)

就不能以乘冪法則處理。

記著一招: (more…)

2012/03/07

答網友:求導

Filed under: NSS — johnmayhk @ 10:05 上午
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以下是網友 2011-12-17 的提問

Find \frac{dy}{dx} if

3x^3+2y^2-4x+\frac{5}{y}=0

建議題解是由

\frac{d}{dx}(3x^3+2y^2-4x+\frac{5}{y})=0

出發,得 (more…)

2011/10/18

Chain rule

Filed under: HKALE,NSS,Pure Mathematics,Teaching — johnmayhk @ 4:29 上午
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早前,中七的 Thomas 問:「Chain rule 個 proof 錯咩?有冇 counter-example?」

先把教科書的東西記下:

以下是記在教科書內 Chain rule 的證明: (more…)

2011/04/15

又談MVT

Filed under: Fun,HKALE,Pure Mathematics — johnmayhk @ 11:05 下午
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如果有 pure mathematics field trips,除了可以去 NYC,參觀:

也可以往 (more…)

2011/04/05

arctan

Filed under: Pure Mathematics — johnmayhk @ 9:56 下午
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多星期前,剛開始談求導技巧,見書中某例:

\frac{d}{dx}\tan^{-1}(\frac{x-1}{x+1})

當得出

\frac{d}{dx}\tan^{-1}(\frac{x-1}{x+1})=\frac{1}{1+x^2}

後,堂上我問:同學感到有趣嗎?因為

\frac{d}{dx}\tan^{-1}x 也是 \frac{1}{1+x^2}

當然,堂上沒空做「無聊」的東西,唯現在從上述「發現」出發,胡說幾句。

首先,大家看看以下步驟有沒有問題:

\frac{d}{dx}\tan^{-1}x\equiv \frac{d}{dx}\tan^{-1}(\frac{x-1}{x+1})

\Rightarrow \tan^{-1}x\equiv \tan^{-1}(\frac{x-1}{x+1})+C

Put x=1 (more…)

2010/07/26

MVT 某推廣

Filed under: HKALE,Pure Mathematics — johnmayhk @ 11:54 上午
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查 THE COLLEGE MATHEMATICS JOURNAL VOL. 35 NO.1 JANUARY 2004 有關 Cauchy’s Mean Value Theorem Involving n Functions 一文,當中以

證明

F(x) = -3x + \frac{\pi}{2}\cos(\frac{\pi}{2}x) + \frac{e^x}{e - 1} + \frac{1}{(x + 2)\ln 2} 在區間 (0,1) 存在零點 ………. (*)

時,

F(0) , F(1) 皆大於零,故不宜用介值定理(Intermediate Value Theorem)。

(more…)

2010/06/16

單增區域

Filed under: HKALE,Pure Mathematics — johnmayhk @ 12:37 上午
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又是溫習純數的時間。參考下圖。

直觀地,函數在區間上是單增(strictly increasing)的。

那麼,若 f(x) 在區間上可導(differentiable),則對於區間內任何一點 a,恆有

f'(a) > 0

(見圖)

但逆向地 (more…)

2010/04/26

一對直線

Filed under: Additional / Applied Mathematics,Pure Mathematics — johnmayhk @ 4:09 下午
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表示一對直線(A pair of straight lines)的方程可以是

(a_1x+ b_1y + c_1)(a_2x+ b_2y + c_2) = 0

化簡後得二次式 Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0

但有沒有「別樣」的方程,亦可表示一對直線(起碼,一對平行線)? (more…)

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