Quod Erat Demonstrandum

2017/06/21

兩題二次方程

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 6:28 下午
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1.

早前學生問了道不錯的題:

Refer to the figure below.

If \alpha and \beta are x-coordinates of P and Q respectively such that \alpha^2+\beta^2=13, find the value(s) of m.

這是基本題目,同學應會解之如下:

-x^2+3x-2=mx-8
x^2+(m-3)x-6=0 (more…)

2017/05/28

Transformation of graphs

Filed under: NSS,Teaching — johnmayhk @ 8:48 下午
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Share some points about the topic ‘transformation of graphs’. Nothing new.

Transformation of graphs in the HKDSE syllabus refers to

– translation
– reflection (with respect to the x-axis or the y-axis)
– enlargement or contraction (along the x-axis or the y-axis)

and all happen in the xy-plane.

(more…)

2017/04/16

行列式特性

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 5:05 下午
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觀同事課,談因式分解行列式(determinant)。

他先給最簡單例子:

Factorize \left|\begin{array}{rcl}a &b &c\\b+c &c+a &a+b \\a^2 &b^2 &c^2\\\end{array}\right|.

我估熟練者很快會把第一行化做 a+b+c,再抽之,即

\left|\begin{array}{rcl}a+b+c &a+b+c &a+b+c\\b+c &c+a &a+b \\a^2 &b^2 &c^2\\\end{array}\right|

=(a+b+c)\left|\begin{array}{rcl}1 &1 &1\\b+c &c+a &a+b \\a^2 &b^2 &c^2\\\end{array}\right|

但對剛接解行列式特性的學生,未必如此想。當老師問,有人答

\left|\begin{array}{rcl}a &b-a &c-a\\b+c &a-b &a-c \\a^2 &b^2-a^2 &c^2-a^2\\\end{array}\right|

之後 (more…)

2017/03/20

無聊 bonus

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 9:55 上午
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隨便出所謂 bonus 題:

Solve the following equations for real x.

1. 1+9^x+25^x=3^x+5^x+15^x

2. 5^{x+1}+5(2^x)=3(10^x)+25^x+4^x+5

中四同學可以試試。

其實 (more…)

2017/01/10

某經典幾何題

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 5:03 下午
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三個大小不同的圓,沒有一個完全在另一個之內。對於每兩個圓,可畫出兩條公共外切線(common external tangents),及其交點,即下圖的 P,Q,R。

問: P,Q,R 共線(collinear)嗎?同學可以先探究一下(輕輕地改變 A 和 X 的位置吧~):

https://www.geogebra.org/m/WPk7sZUJ

(若有興趣知如何構作兩圓的外公共切線,可看文末的附錄*)

第一次接觸此題,大概在 1995 年,看以下數普書: (more…)

2016/12/11

小心出題

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 11:18 下午
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早前給學生做某高中數學教科書的某習題:

因為課題涉及 cosine law,於是多數學生解 (a),曰:

AB=\sqrt{30^2+45^2-2(30)(45)\cos(60^o-40^o)}=19.7 m

但有少部份學生,以初中手法處理,考慮兩個直角三角形,得

AB=45\cos 40^o-30\cos 60^o=19.5 m

我用計算機檢查無誤,奇怪 (more…)

2016/07/26

相同特徵值及凱萊哈密頓

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 10:29 上午
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免插聲明:本文只是中學程度的討論,高手見諒。

續上個 post:

https://johnmayhk.wordpress.com/2016/07/22/flf-and-matrix/

M=\left(\begin{array}{rcl}a& b\\c& d\\\end{array}\right) 的特徵方程為 \det(M-\lambda I)=0,即

\lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc)=0

留意上式係數,

(a+d) 就是矩陣 M 的跡(trace),即對角元的和,也是特徵值的和(sum of roots);而

(ad-bc) 就是矩陣 M 的行列式(determinant),也是特徵值的積(product of roots)。

有時出題目,想弄一個 2×2 矩陣,其特徵值是(比方說)2 和 8,可以先寫 (more…)

2015/11/28

無聊二次方程

Filed under: NSS — johnmayhk @ 9:15 上午
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1.少少無聊

不用甚麼「精心炮製」,隨便問問,對很多學生來說已是難題。比如中四,二次方程,我隨便問:

Solve (x-1)(\sqrt{2}x-\sqrt{3}+\sqrt{5})=0.

結果大部分學生嘗試展開,又配方法,又二次公式云云,把問題簡單複雜化。可能學得「太多」 (more…)

2015/11/12

無聊兩題

Filed under: Junior Form Mathematics,NSS — johnmayhk @ 9:39 下午
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1. 初中

參考下圖

johnmayhk-congruce-ass

已知:\angle C=\angle DAC=AD

問:\Delta ABC \cong \Delta ABD 嗎?

如果同學寫: (more…)

2015/05/19

某中三三角學題

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 11:47 上午
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其一

中三數,某題:

Given that \tan \theta=\sqrt{2}, where \theta is an acute angle. Using trigonometric identities, find the value of \sin^2\theta - \cos^2\theta.

用圖,輕易把 \tan \theta=\sqrt{2} 表之曰

johnmayhk-f3trigonometry1

立即得 (more…)

2015/05/14

某積分

Filed under: NSS — johnmayhk @ 5:37 下午
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網上見某中學的積分題,求

\displaystyle \int\frac{e^x(x\ln x+1)}{x}dx

其實出題的 idea 不難 (more…)

2015/03/07

幾條正三角形

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 8:59 下午
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有時在街中,也傅來學生用 fb 或 whatsapp 問數如下,回家答之。可能有更好解法,但我只想到以下解,高手見諒。

從學生甲:

johnmayhk-geometry-jaco1

設 ABC 是正三角形,D 和 E 分別在 BC 和 CA 上。AD 交 BE 於 P。若 AE = DC 及 BQ \perp AD,求 BP : PQ。

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2015/03/03

數算簡單分組

Filed under: NSS — johnmayhk @ 11:27 上午
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簡單分組問題,作溫習之用:

設有 {A,B,C,D,E,F} 6 人 ,問下面各個情況共有多少組合/排列方式?

(a) 分 3 組,甲組 3 人,乙組 2 人,兩組 1 人
(b) 分 3 組,一組 3 人,一組 2 人,一組 1 人;及後,一組稱為甲組,一組稱為乙組,一組稱為丙組
(c) 分 3 組,一組 3 人,一組 2 人,一組 1 人
(d) 分 3 組,甲組 2 人,乙組 2 人,兩組 2 人
(e) 分 3 組,每組 2 人;及後,一組稱為甲組,一組稱為乙組,一組稱為丙組
(f) 分 3 組,每組 2 人
(g) 分 3 組排隊,每組 2 人
(h) 分 3 組排隊,每組 2 人;及後,一組稱為甲組,一組稱為乙組,一組稱為丙組

解?click 以下連結: (more…)

2014/05/20

兩個等差數列

Filed under: HKCEE,mathematics,NSS — johnmayhk @ 6:42 下午
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把一個等差數列(arithmetic sequence)「放」在另一個等差數列的題目也頗常見,例如:

johnmayhk-2as

第一行有 3 格。
之後,每行格數比之前多 2。
由第 3 行第 4 個格(左起數起),
放下某個等差數列(5,9,13,…)的首項。
問這個數列的第 2014 項,在第幾行,第幾格?

把問題一般化。

設每行格數為 U_n(more…)

2014/05/12

某畢氏定理證明

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 6:30 下午
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這例可作中二三的數學習題:利用菱形和相似三角形證明畢氏定理。

考慮直角三角形如下:

johnmayhk-pyth01

把三角形 ABC 沿 AB 平移 c 個單位,得三角形 DEF 如下:

johnmayhk-pyth02

如此,CADF 便是菱形。 (more…)

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