Quod Erat Demonstrandum

2012/09/21

內接長方形

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 2:12 下午
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1. 簡單老題

這裡有一道簡單的老題:

在一個固定圓內,我們可以繪畫不同大小的圓內接長方形,比如

又或是

問:圓內接長方形的面積,何時最大? (more…)

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2012/03/30

WPS 不等式

Filed under: Pure Mathematics — johnmayhk @ 5:04 上午
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a_1,a_2,\dots ,a_n,b_1,b_2, \dots ,b_n,p,q 為正數,其中 \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1。我們有 Hölder’s inequality

\displaystyle \sum_{k=1}^na_kb_k \le (\displaystyle \sum_{k=1}^na_k^p)^{1/p}(\displaystyle \sum_{k=1}^nb_k^q)^{1/q}

由 Hölder’s inequality 出發,代

a_kb_k=x_kb_k^q=y_kk=1,2,\dots ,n

(more…)

2009/02/01

卡爾松(Carleson)不等式

Filed under: Pure Mathematics — johnmayhk @ 9:25 下午
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Carleson first inequality

Let a_1, a_2, \dots , a_n \in \mathbb{R}, then

(a_1 + a_2 + \dots + a_n)^2 < \frac{\pi^2}{6}(a_1^2 + 2^2a_2^2 + \dots + n^2a_n^2)

Carleson second inequality

Let a_1, a_2, \dots , a_n \in \mathbb{R}, then

(a_1 + a_2 + \dots + a_n)^4 < \pi^2(a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2)(a_1^2 + 2^2a_2^2 + \dots + n^2a_n^2)

沒有額外添加的人工化前提,得出不平凡的結果。

證明 (more…)

2008/12/03

證明不等式的基礎招式 (Part 2)

Filed under: Pure Mathematics,Teaching — johnmayhk @ 5:12 下午
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招式七:算幾不等式 A.M. \ge G.M.

e.g. 11 For any positive integer n, show that (1 + \frac{1}{n + 1})^{n + 1} > (1 + \frac{1}{n})^n (more…)

2008/12/02

利用 Taylor’s theorem 證明 AM >= GM

x_1, x_2, \dots , x_nn 個正數,命 a = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}, g = \sqrt[n]{x_1x_2 \dots x_n} (more…)

2008/11/27

證明不等式的基礎招式 (Part 1)

Filed under: Pure Mathematics,Teaching — johnmayhk @ 6:36 下午
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證明不等式的招式繁多,難以窮盡,聊舉數例,全屬基礎技術,以作溫習之用,高手見諒。

招式一.基本功

欲證 A \ge B

可試證:

A - B \ge 0,或 (more…)

2008/11/05

講座簡報:常見的不等式及奧數解題範例

Filed under: Pure Mathematics,Report — johnmayhk @ 12:32 上午
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昨晚出席了岑嘉評教授主講,題為【常見的不等式及奧數解題範例】的公開講座。原來荃濟的趙老師,帶了廿多位同學一起出席。我就忘了報名,早上急忙傅真報名表,一支公出席。

在教育局九龍塘教育服務中心西座四樓演講廳,可說是座無虛席。

上次聽岑教授演講,是關於「多項式費馬大定理的簡單証明」,但對他的印象,仍然是我當年在中大旁聽他的代數課:Ideal theory。昨晚,他 (more…)

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