用 integration by parts 處理 如下
於是
常見初中數學題:
圓錐容器高 H 單位。容器內盛水,垂直倒置時水深 h 單位(Fig. 1),把其倒轉平放水平面後(Fig.2),求水深。
利用相似形體積比等於對應邊比之立方,不難得 ,故水深為
單位。
早前同事出題:如果容器是橢圓體,同樣問題如何解決?
具體一點,參考下圖
容器形狀是橢圓 環繞 y-軸轉出來的旋轉體。
容器內盛水,水深 h 單位(Fig. 3)把容器沿 O 轉 90 度(Fig.4)(注:其實是沿 z-軸),求水深。 (more…)
以積分求面積,基本概念也。
故不用真正去計算,只要明白
代表四分一個單位圓的面積,立即知
改變積分上限為 ,M2 同學也懂計算
(其中
)
代 又或用部分積分吧。但以圖示之,求上述積分,即是求下圖著色部分面積:
1.緣起
某次中三共同備課堂,同事甲提出證明錐體體積的方法,如下:
考慮一個鈄截正三角柱體(truncated right triangular prism),即三條側棱皆與底垂直者:
設側棱長度分別為 。因其體積是底面積 A 乘以「平均高度」,即鈄截正三角柱體的體積為
於是對於錐體,其底面積為 A,高為 h 者,
只要代入 ;
,便知其體積是
知
檢查一下:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+sin%28x%29%2Fx+from+0+to+infinity
原來
又檢查一下:
甚至 (more…)
之前談過積分的某技巧,見
https://johnmayhk.wordpress.com/2012/02/07/integration-by-parts/
現談另一個。
例 1
考慮多項式 ,易知
注意到
和
皆是多項式,且它們的次數(degree)相同,
換言之 (more…)
M2 學生問以下一題
The slope at any point (x,y) of a curve is given by
.
If the curve lies above the x-axis, and it passes (0,8), find the equation of the curve.
(more…)