Quod Erat Demonstrandum

2017/03/19

盛水水深

Filed under: Additional / Applied Mathematics,HKCEE,NSS — johnmayhk @ 12:43 下午
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常見初中數學題：

圓錐容器高 H 單位。容器內盛水，垂直倒置時水深 h 單位（Fig. 1），把其倒轉平放水平面後（Fig.2），求水深。

利用相似形體積比等於對應邊比之立方，不難得 k=\sqrt[3]{H^3-h^3}，故水深為

(H-\sqrt[3]{H^3-h^3}) 單位。

早前同事出題：如果容器是橢圓體，同樣問題如何解決？

具體一點，參考下圖

容器形狀是橢圓 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 環繞 y-軸轉出來的旋轉體。

容器內盛水，水深 h 單位（Fig. 3）把容器沿 O 轉 90 度（Fig.4）（注：其實是沿 z-軸），求水深。 (more…)

2016/06/06

和扇形有關的某積分

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 12:27 下午
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以積分求面積，基本概念也。

故不用真正去計算，只要明白

\displaystyle \int^1_0\sqrt{1-x^2}dx

代表四分一個單位圓的面積，立即知

\displaystyle \int^1_0\sqrt{1-x^2}dx=\frac{\pi}{4}

改變積分上限為 t，M2 同學也懂計算

\displaystyle \int_0^t\sqrt{1-x^2}dx　（其中 0 < t < 1）

代 x=\sin\theta 又或用部分積分吧。但以圖示之，求上述積分，即是求下圖著色部分面積：

johnmayhk-intefrate-square-root-of-one-minus-x-square (more…)

2015/11/02

一個冇咩用嘅rule

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 1:53 下午
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積分沒有甚麼 product rule，除非特殊情況，比如：

設 u=u(x)，v=v(x) 二次可導，若 \frac{d^2u}{dx^2}=au 及 \frac{d^2v}{dx^2}=bv 其中 a,b 為常數；則

\int uvdx=\frac{1}{b-a}(u\frac{dv}{dx}-v\frac{du}{dx})+C

先唔證 (more…)

2015/08/09

某積分

Filed under: NSS — johnmayhk @ 12:06 上午
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修 M2 的同學懂得求

\int x^2\sqrt{1+x^2}dx

課程告之，方法可以設

x=\tan\theta

之後要處理

\int\sec^3\theta d\theta 和 \int\sec^5\theta d\theta

而得，頗煩，同學可試試。

現在，我運用雙曲函數 (more…)

2015/05/14

某積分

Filed under: NSS — johnmayhk @ 5:37 下午
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網上見某中學的積分題，求

\displaystyle \int\frac{e^x(x\ln x+1)}{x}dx

其實出題的 idea 不難 (more…)

2015/02/20

鈄截柱體體積

Filed under: Junior Form Mathematics,NSS,Physics — johnmayhk @ 8:25 下午
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1.緣起

某次中三共同備課堂，同事甲提出證明錐體體積的方法，如下：

考慮一個鈄截正三角柱體（truncated right triangular prism），即三條側棱皆與底垂直者：

johnmayhk-volume-3

設側棱長度分別為 h_1,h_2,h_3。因其體積是底面積 A 乘以「平均高度」，即鈄截正三角柱體的體積為

V=A\frac{h_1+h_2+h_3}{3}

於是對於錐體，其底面積為 A，高為 h 者，

johnmayhk-volume-4

只要代入 h_1=h_2=0；h_3=h，便知其體積是

V=A\frac{0+0+h}{3}=\frac{1}{3}Ah (more…)

2014/08/11

吃驚積分

Filed under: Fun,Pure Mathematics — johnmayhk @ 9:18 下午
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知

\displaystyle \int_0^\infty \frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2}

檢查一下：

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+sin%28x%29%2Fx+from+0+to+infinity

原來

\displaystyle \int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\cdot \frac{\sin (x/3)}{(x/3)}dx=\frac{\pi}{2}

又檢查一下：

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%28sin%28x%29%2Fx%29%28sin%28x%2F3%29%2F%28x%2F3%29%29+from+0+to+infinity

甚至 (more…)

2014/08/08

利用比較係數做積分

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 12:16 上午
Tags: , ,

之前談過積分的某技巧，見

https://johnmayhk.wordpress.com/2012/02/07/integration-by-parts/

現談另一個。

例 1

考慮多項式 P(x)，易知

\frac{d}{dx}P(x)e^x=(P(x)+P'(x))e^x

注意到

P(x) 和 P(x)+P'(x) 皆是多項式，且它們的次數（degree）相同，

換言之 (more…)

2014/06/16

積分二三事

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 11:50 下午
Tags: ,

1.

同事提我，求

\int \frac{dx}{1-x^2}

時，如果設

x=\sin \theta（或 x=\cos \theta）

之類是錯的。

雖然 (more…)

2014/06/11

M2 某題

Filed under: Additional / Applied Mathematics,NSS — johnmayhk @ 9:06 上午
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M2 學生問以下一題

The slope at any point (x,y) of a curve is given by

\frac{dy}{dx}=y(2x+9).

If the curve lies above the x-axis, and it passes (0,8), find the equation of the curve.
(more…)

2011/10/10

錯在哪裡之 0 = 1

Filed under: HKALE,NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 5:29 上午
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Old stuff…

\int \frac{\cos \theta d\theta}{\sin \theta}

=\int \frac{d\sin \theta}{\sin \theta} (more…)

2011/05/22

某關於積分的純數題

Filed under: Pure Mathematics — johnmayhk @ 6:34 下午
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有沒有以下例子：

\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)

不存在，但

\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\int_{a}^{x}f(t)dt (其中常數 a>0)

存在？ (more…)

2010/01/06

錯在哪裡：代入法

Filed under: HKALE,Pure Mathematics — johnmayhk @ 5:17 下午
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這是中七的陳同學提出的，在此鳴謝。

（2001-AL-Pure Mathematics-II-Q.12(a)(ii)）

問：求不定積分 \int \frac{x^2 + 1}{(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)}dx。

解：

\int \frac{x^2 + 1}{(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)}dx = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x^2 - x + 1} + \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x^2 + x + 1}

考慮第二項 I = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x^2 + x + 1}

用代入法，設 x = -y，則

I
= \frac{1}{2} \int \frac{-dy}{y^2 - y + 1}
= \frac{1}{2} \int \frac{-dx}{x^2 - x + 1} (dummy variable)

故原式 (more…)

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