用積分證 0=-1

用 integration by parts 處理 如下

於是

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pi的連分表達式

把 寫成連分數（continued fraction），方式甚多，以下是其中一種：

可以變成 M2 習題如下：

Define .

重積求面積

1.某中四題：

求直線 , , 及 圍出來的平行四邊形之面積。

可用

盛水水深

常見初中數學題：

圓錐容器高 H 單位。容器內盛水，垂直倒置時水深 h 單位（Fig. 1），把其倒轉平放水平面後（Fig.2），求水深。

利用相似形體積比等於對應邊比之立方，不難得 ，故水深為

單位。

早前同事出題：如果容器是橢圓體，同樣問題如何解決？

具體一點，參考下圖

容器形狀是橢圓 環繞 y-軸轉出來的旋轉體。

容器內盛水，水深 h 單位（Fig. 3）把容器沿 O 轉 90 度（Fig.4）（注：其實是沿 z-軸），求水深。

和扇形有關的某積分

以積分求面積，基本概念也。

故不用真正去計算，只要明白

代表四分一個單位圓的面積，立即知

改變積分上限為 ，M2 同學也懂計算

　（其中 ）

代 又或用部分積分吧。但以圖示之，求上述積分，即是求下圖著色部分面積：

一個冇咩用嘅rule

積分沒有甚麼 product rule，除非特殊情況，比如：

設 ， 二次可導，若 及 其中 為常數；則

先唔證

某積分

修 M2 的同學懂得求

課程告之，方法可以設

之後要處理

和

而得，頗煩，同學可試試。

現在，我運用雙曲函數

某積分

網上見某中學的積分題，求

其實出題的 idea 不難

鈄截柱體體積

1.緣起

某次中三共同備課堂，同事甲提出證明錐體體積的方法，如下：

考慮一個鈄截正三角柱體（truncated right triangular prism），即三條側棱皆與底垂直者：

設側棱長度分別為 。因其體積是底面積 A 乘以「平均高度」，即鈄截正三角柱體的體積為

於是對於錐體，其底面積為 A，高為 h 者，

只要代入 ；，便知其體積是

吃驚積分

知

檢查一下：

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+sin%28x%29%2Fx+from+0+to+infinity

原來

又檢查一下：

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%28sin%28x%29%2Fx%29%28sin%28x%2F3%29%2F%28x%2F3%29%29+from+0+to+infinity

甚至

利用比較係數做積分

之前談過積分的某技巧，見

https://johnmayhk.wordpress.com/2012/02/07/integration-by-parts/

現談另一個。

例 1

考慮多項式 ，易知

注意到

和 皆是多項式，且它們的次數（degree）相同，

換言之

積分二三事

1.

同事提我，求

時，如果設

（或 ）

之類是錯的。

雖然

M2 某題

M2 學生問以下一題

The slope at any point (x,y) of a curve is given by

.

If the curve lies above the x-axis, and it passes (0,8), find the equation of the curve.

錯在哪裡之 0 = 1

Old stuff…

某關於積分的純數題

有沒有以下例子：

不存在，但

(其中常數 )

存在？