Quod Erat Demonstrandum

2017/04/22

逆矩陣

Filed under: mathematics,NSS,University Mathematics — johnmayhk @ 11:10 下午
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趁未失憶,匆匆寫下,高手見諒。

教科書稱:對於方陣(square matrix)A,若存在方陣 B 使

AB=BA=I

則稱 BA 的逆矩陣,記之曰 B=A^{-1}

做習題時,學生檢查了 AB=I 後,著他不用浪費時間再檢查 BA,說: (more…)

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2017/04/16

行列式特性

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 5:05 下午
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觀同事課,談因式分解行列式(determinant)。

他先給最簡單例子:

Factorize \left|\begin{array}{rcl}a &b &c\\b+c &c+a &a+b \\a^2 &b^2 &c^2\\\end{array}\right|.

我估熟練者很快會把第一行化做 a+b+c,再抽之,即

\left|\begin{array}{rcl}a+b+c &a+b+c &a+b+c\\b+c &c+a &a+b \\a^2 &b^2 &c^2\\\end{array}\right|

=(a+b+c)\left|\begin{array}{rcl}1 &1 &1\\b+c &c+a &a+b \\a^2 &b^2 &c^2\\\end{array}\right|

但對剛接解行列式特性的學生,未必如此想。當老師問,有人答

\left|\begin{array}{rcl}a &b-a &c-a\\b+c &a-b &a-c \\a^2 &b^2-a^2 &c^2-a^2\\\end{array}\right|

之後 (more…)

2016/07/26

相同特徵值及凱萊哈密頓

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 10:29 上午
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免插聲明:本文只是中學程度的討論,高手見諒。

續上個 post:

https://johnmayhk.wordpress.com/2016/07/22/flf-and-matrix/

M=\left(\begin{array}{rcl}a& b\\c& d\\\end{array}\right) 的特徵方程為 \det(M-\lambda I)=0,即

\lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc)=0

留意上式係數,

(a+d) 就是矩陣 M 的跡(trace),即對角元的和,也是特徵值的和(sum of roots);而

(ad-bc) 就是矩陣 M 的行列式(determinant),也是特徵值的積(product of roots)。

有時出題目,想弄一個 2×2 矩陣,其特徵值是(比方說)2 和 8,可以先寫 (more…)

2016/07/22

有理函數和矩陣

Filed under: NSS,Pure Mathematics,Teaching,University Mathematics — johnmayhk @ 12:06 下午
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Core mathematics 介紹過 rational function(有理函數),即形如 \frac{P(x)}{Q(x)} 者(其中 P(x)Q(x) 皆為多項式)。

P(x)Q(x) 皆為線性(linear),即形如 \frac{ax+b}{cx+d} 者,稱之曰 fractional linear function(FLF)。

中四教 function(函數)時,偶談下例,設 f(x)=\frac{ax+b}{cx+d},求 f(f(x))

解之曰

f(f(x))

=\frac{af(x)+b}{cf(x)+d}

=\frac{a\times \frac{ax+b}{cx+d}+b}{c\times \frac{ax+b}{cx+d}+d}

=\frac{(a^2+bc)x+b(a+d)}{c(a+d)x+bc+d^2}

仍舊是 FLF。

現看看 2×2 矩陣 (more…)

2016/05/01

證 Cramer’s rule (無言)

Filed under: Fun,NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 10:58 下午
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來自 The Mathematics Initiative, Education Development Center 的關於 Cramer’s rule 的無言證明:

johnmayhk-cramer-rule-1
johnmayhk-cramer-rule-2

兩句:

1.相信為了簡潔,不繪出 y\overrightarrow{b}z\overrightarrow{c},但繪與不繪,無關宏旨。
2.上式 det 計算的是平行六面體體積,而上圖兩個平行六面體之體積明顯相同,故推得結果。

把線性方程組賦予這個圖像意義,美麗!

2014/11/03

存在非平凡解的齊次線性方程組

Filed under: NSS,Teaching — johnmayhk @ 4:08 下午
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以下是一道普通的 M2 題目:

已知以下線性聯立方程有非平凡解(non-trivial solution)

\left \{ \begin{array}{ll} 2x+(2+k)y+2z=0\\(4+k)x+2y+5z=0\\7x+3y+(6+k)z=0\end{array}\right.

k 值。

因方程組是齊次的(homogeneous),要有非平凡解,只要設 \Delta=0,即

\left|\begin{array}{ccc}2 & 2+k & 2\\4+k & 2 & 5\\7 & 3 & 6+k\end{array}\right|=0

便可,從而解出

k=1,-1,-12

但有同學利用 Gaussian elimination,得

\left(\begin{array}{cccc}2 & 2+k & 2 & 0\\4+k & 2 & 5 & 0\\7 & 3 & 6+k & 0\end{array}\right)

~\left(\begin{array}{cccc}1 & \frac{k}{2}+1 & 1 & 0\\7 & 3 & 6+k & 0\\4+k & 2+k & 5 & 0\end{array}\right)

~\left(\begin{array}{cccc}1 & \frac{k}{2}+1 & 1 & 0\\ 0 & -\frac{7k}{2}-4 & k-1 & 0\\ 0 & -\frac{k^2}{2}-3k-2 & 1-k & 0\end{array}\right)

~\left(\begin{array}{cccc}1 & \frac{k}{2}+1 & 1 & 0\\ 0 & -\frac{7k}{2}-4 & k-1 & 0\\ 0 & -\frac{k^2}{2}-\frac{13k}{2}-6 & 0 & 0\end{array}\right)

因方程組有非平凡解,觀察上述第三式,即

-\frac{k^2}{2}-\frac{13k}{2}-6=0

解出

k=-1,-12

咦,奇怪了,一早知 k=1,-1,-12,為何用 Gaussian elimination,得不到 k=1 這個可能值?

::: 停一停,想一想 ::: (more…)

2013/12/21

某題行列式

Filed under: NSS — johnmayhk @ 9:56 下午
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比如不用計算機,求以下行列式的值:

\left|\begin{array}{rcl}\sin 20^o+\sin 40^o&\sin 80^o&\sin 80^o\\\sin 20^o&\sin 40^o+\sin 80^o&\sin 20^o\\\sin 40^o&\sin 40^o&\sin 80^o+\sin 20^o\\\end{array}\right|

諸如此類的題已沒有市場價值,無論如何,修 M2 的同學可以試試。

先考慮 (more…)

2011/02/09

解線性不定方程

Filed under: Pure Mathematics — johnmayhk @ 1:57 下午
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所謂前言

不知從何時開始,「尋求最大公因/約數」成了政治術語,其意義大概是「尋求最大共識或妥協」之類。正本清源,大家還記否數學上是如何尋求最大公因數(Highest Common Factor, H.C.F.)?

比如,要尋求 51 和 390 的最大公因數,現在的小學生應懂用「列舉法」處理,即

51=3 \times 17

390=2 \times 3 \times 5 \times 13

可見,51 和 390 的最大公因數是 3。

有「玩」奧數的小學同學,應可進一步解以下的二元一次不定方程(或曰丟番圖方程 diophantine equation)

51x+390y=3

要求 x, y 皆為整數。但相信 (more…)

2008/10/21

用 EXCEL 玩 Matrix

Filed under: Pure Mathematics — johnmayhk @ 5:17 下午
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TA 哥哥在教員室玩完魔術 (可能是 rock sir 教的魔術),主動教我用 EXCEL 玩 matrix,我學了,教大家。修 pure mathematics 的同學,留意。

1. 行列式(determinant)

\left|\begin{array}{rcl}1&2\\3&5\end{array}\right|,我們可在 EXCEL 工作表輸入

(more…)

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