Quod Erat Demonstrandum

2017/04/05

答問

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 11:11 下午
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網友問:

\displaystyle \frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}=0

\displaystyle \frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}

其實我沒有甚麼好方法 (more…)

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2016/08/08

點解2

Filed under: Fun,mathematics — johnmayhk @ 11:12 下午
Tags: , ,

1+2+3+\dots +(n-1)+n+(n-1)+\dots +3+2+1=?

簡單

\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n-1)n}{2}=n^2

是也。

如果變成中四 M2 的 MI 習題:

利用數學歸納法證明,對於任何正整數 n

1+2+3+\dots +(n-1)+n+(n-1)+\dots +3+2+1=n^2

不知同學會否覺得不太容易? (more…)

2016/06/09

正三角

Filed under: Fun — johnmayhk @ 11:34 上午
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答網友

其他方法,見: (more…)

2016/06/06

和扇形有關的某積分

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 12:27 下午
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以積分求面積,基本概念也。

故不用真正去計算,只要明白

\displaystyle \int^1_0\sqrt{1-x^2}dx

代表四分一個單位圓的面積,立即知

\displaystyle \int^1_0\sqrt{1-x^2}dx=\frac{\pi}{4}

改變積分上限為 t,M2 同學也懂計算

\displaystyle \int_0^t\sqrt{1-x^2}dx (其中 0 < t < 1

x=\sin\theta 又或用部分積分吧。但以圖示之,求上述積分,即是求下圖著色部分面積:

johnmayhk-intefrate-square-root-of-one-minus-x-square (more…)

2015/11/28

無聊二次方程

Filed under: NSS — johnmayhk @ 9:15 上午
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1.少少無聊

不用甚麼「精心炮製」,隨便問問,對很多學生來說已是難題。比如中四,二次方程,我隨便問:

Solve (x-1)(\sqrt{2}x-\sqrt{3}+\sqrt{5})=0.

結果大部分學生嘗試展開,又配方法,又二次公式云云,把問題簡單複雜化。可能學得「太多」 (more…)

2015/01/08

被 8 整除

Filed under: Fun,mathematics — johnmayhk @ 2:08 下午
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1.問題

證明對於任何正整數 n

n^4+2n^3+3n^2+2n

必可被 8 整除。

2.解答

(a)

本來利用 Mathematical Induction (M.I.) 來證明是很輕易的,但現在的 M2 課程已刪除了整除性,相信中四五的同學,要解題不易。

只寫 P(k)\Rightarrow P(k+1) 這步: (more…)

2014/12/24

由零開始

Filed under: Fun — johnmayhk @ 5:31 下午
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相信有些讀者對以下舊題毫不陌生:

(1936 年的莫斯科奧數題目)

證明任何正整數皆可表成三個 2 和一些數學符號的組合。(見下 2.1.3)

johnmayhk-om-1936
(摘自:https://zh.scribd.com/doc/243423156/56/Answers-to-selected-problems-of-Moscow-mathematical-circles

只要觀察: (more…)

2014/08/09

點解

Filed under: Fun — johnmayhk @ 9:25 上午
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把 n 人分若干組,各組人數不一定相同。

a_k = 不少於 k 人的組數。

(易知 a_1\ge a_2\ge a_3\ge \dots

b_k = 人數排第 k 位(由多至少排列)的組,其組內人數。

(易知 b_1\ge b_2\ge b_3\ge \dots

1.證明

a_1+a_2+a_3+\dots=b_1+b_2+b_3+\dots

(more…)

2014/03/18

自轉

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 4:34 下午
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上星期,某中一學生問同事一個問題:

johnmayhk-rolling-1

上圖顯示了大小圓,圓周比是 4:1。

若小圓在大圓上滾動(即公轉)一圈,它自轉了多少圈?

(這裡假設 (more…)

2013/02/23

Oh…數

Filed under: Report — johnmayhk @ 11:39 上午
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這是安迪同學的見證,忘記之前在哪家媒體閱讀過,以下是摘自大公報(2013-02-21):

B18003.1

身為人父 (more…)

2010/07/16

奧數新聞

Filed under: Report — johnmayhk @ 9:31 上午
Tags: ,

[FW] 港中學生擬題 首獲奧數「徵用」

港生數學表現再次揚威國際,一名即將升讀科技大學數學系的中七生戴煒銘,提交予國際數學奧林匹克委員會(奧數)的數學難題,獲選為本年比賽試題之一,有關試題向來主要由大學學者或大學生草擬,此乃首次有本港中學生設計的考題獲選;此外,6名港生今屆賽事共奪1金2銀3銅,其中皇仁書院學生程德永更是年內第3度奪金。 (more…)

2010/05/10

[FW]一位數學博士的數學教育自傳

Filed under: Life,Report — johnmayhk @ 10:21 上午
Tags: ,

網友推介鄭煥博士的一篇文章,描述他與數學打交道的心路歷程:一個奧數高手,如何變成厭倦數學,害怕數學,最終體現數學之美,教育之重要,重投科研之路。

節錄一段,在下深表認同: (more…)

2009/07/28

2009-IMO-Q6

Filed under: mathematics,Report — johnmayhk @ 5:13 下午
Tags: ,

從森棚教官的博客:

http://www.wretch.cc/blog/giawgwan/7205340

得知今年(2009 年)的 IMO 第六題是超難的題目,數學家陶哲軒也在其博客把它化作"mini-polymath project",寫了相關的三個 post:

http://terrytao.wordpress.com/2009/07/20/imo-2009-q6-as-a-mini-polymath-project/

佩服取滿分的中學生,更佩服出題者。

2009/07/27

Dedekind sum

Filed under: Fun — johnmayhk @ 11:22 下午
Tags: ,

Have a glance at the hyperlink, the following handout should be some ‘training’ materials for mathematics competition (secondary school level) in Hong Kong, have a look if you are interested in “Dedekind sum":

http://gifted.hkedcity.net/Gifted/Download/notes/0607math2phase/advanced/06-11-4-11-18_dedekind%20sums.pdf

Something about number theorist: some days ago, I saw Koopa’s ad. on a bus, then I’d tried to surf in net and found the following:

http://www.kingsglory.edu.hk/kge/teacher/kp.asp

After watching the promo, my wife said to me that if she were a student, she would take the course!

2009/02/01

卡爾松(Carleson)不等式

Filed under: Pure Mathematics — johnmayhk @ 9:25 下午
Tags: , , ,

Carleson first inequality

Let a_1, a_2, \dots , a_n \in \mathbb{R}, then

(a_1 + a_2 + \dots + a_n)^2 < \frac{\pi^2}{6}(a_1^2 + 2^2a_2^2 + \dots + n^2a_n^2)

Carleson second inequality

Let a_1, a_2, \dots , a_n \in \mathbb{R}, then

(a_1 + a_2 + \dots + a_n)^4 < \pi^2(a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2)(a_1^2 + 2^2a_2^2 + \dots + n^2a_n^2)

沒有額外添加的人工化前提,得出不平凡的結果。

證明 (more…)

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