Quod Erat Demonstrandum

2016/07/10

論商餘(三)

Filed under: mathematics,NSS,Teaching — johnmayhk @ 9:45 下午
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一. 帶餘除法

(a) 多項式與數字

聞說以下是某校的試題:

一看,個心離一離。 (more…)

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2015/08/27

某 monic 多項式

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 10:09 上午
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偶見高X論壇某題:

證明 x^4+x^3+x^2+x+1 > 0

回應者用了較麻煩的方法處理。

其實,當 x\ne 1(more…)

2015/08/16

某舊習題

Filed under: Additional / Applied Mathematics,Pure Mathematics — johnmayhk @ 4:25 下午
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不知大家曾否被數學題吸引?剛在書櫃找東西時,隨意翻閱我校某本過時的中學數學參考書(1942 年,第 5 版)

johnmayhk-tutorial-algebra-cover

偶見一道頗吸引我的中學數學題:

證明:

a+b+c=0

\frac{a^5+b^5+c^5}{5}=\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\cdot \frac{a^2+b^2+c^2}{2}

我只是被那公整的模樣吸引,其實這是一道純數的基本習題。但舊書用的是應數的方法,見下: (more…)

2014/05/16

證明某級數

Filed under: Fun,Pure Mathematics — johnmayhk @ 11:00 下午
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早前在網上見下圖

johnmayhk-r-f

聞說上式曾走進 Ramanujan 的夢中。

其實曾修讀中學純數的同學也懂得證明上式。

第一步是把 (more…)

2011/03/03

Polynomial identity


Is the following an identity? Prove or disprove your claim:

(x+1)(x-3)+1=(x+2)(x-1)

This is a trivial (more…)

2009/12/11

平移與求導

和中七同學溫書,偶遇科主任擬的精采題目,同學也感巧妙。題中一小部分出現了一個「結果」,見下。

f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e

求多項式 f(x + L) (視 L 為常數)內 x 的係數及常數項。

這是機械運作,不值一顧,詳表如下:

f(x + L)
\equiv ax^4 + (4La + b)x^3 + (6L^2a + 3Lb + c)x^2
+ (4L^3a + 3L^2b + 2Lc + d)x + (L^4a + L^3b + L^2c + Ld + e) (more…)

2008/11/02

不能秒殺的提問:餘式定理

Filed under: HKCEE — johnmayhk @ 4:53 下午
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教了餘式定理,隨便亂出題:設 f(x) 是多項式,已知

f(x) \div (x - 1),餘式為 3
f(x) \div (x - 2),餘式為 5

那麼,當 f(x) \div (x - 1)(x - 2) 時,餘式是什麼?

同學秒殺之,答案是 2x + 1,毫無難度。但有 4E 同學提出他的解法如下: (more…)

2008/10/07

論商餘(二)

有同學問到綜合除法(synthetic division)之原理,讓我詳述之。

本文共分四部份:
一、算法
二、原理
三、推廣
四、應用
(more…)

2008/09/24

比較係數

Filed under: Pure Mathematics — johnmayhk @ 10:05 下午
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以下是一道簡單的短題。

f(x) = ax^2 + bx + ca \ne 0),滿足 f(f(x)) \equiv f^2(x),求 a, b, c 的值。 (more…)

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