Quod Erat Demonstrandum

2010/04/23

一點心情

Filed under: NSS,School Activities — johnmayhk @ 12:05 上午
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我校有 5 班中四,其中 2 班開設 M2,1 班 M1。

在學校工作了一些時間,累積了些少經驗。只是,今年我上的中四數學課(M2),感覺和之前不同。

兩連堂,第一堂完的下課鐘聲 (more…)

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2010/04/05

心在線上

L.U. 的一道舊題目,見下:

設三角形三邊之方程為

y = m_1x + \frac{a}{m_1}
y = m_2x + \frac{a}{m_2}
y = m_3x + \frac{a}{m_3}

證明該三角形的垂心(orthocentre)的 x-坐標是 -a

正如科主任說,這題不用半張 A4 紙就能解決,贊同!同學可自行試試。

但我想:為何人們可以創作結果如此「簡潔美麗」的一道題?

為了 (more…)

2010/01/01

俄羅斯方塊帶給我們的生命教育…

Filed under: Additional / Applied Mathematics,HKALE — johnmayhk @ 12:38 上午
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這不過是一幅開玩笑的圖,認真便輸了! (more…)

2009/12/15

垂心的坐標

Filed under: Additional / Applied Mathematics,HKCEE,Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 2:28 下午
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A(x_1,y_1), B(x_2,y_2), C(x_3,y_3),易知 \Delta ABC 形心/重心(centroid)的坐標為

G(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3} , \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})

以向量表述,

\overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{3}

(初中同學試以 section formula 證之)

但垂心(orthocenter)的坐標呢?所謂垂心,就是三角形的高之交點,當然可以藉著解聯立直線方程得之。但如果把三角形放置在一個好位置,垂心是極易得到。

\Delta ABC 的外心(circumcenter)為 O,並以 O 為直角坐標系的原點(origin),

那麼,垂心 H 的坐標就是 (more…)

2009/11/03

不能秒殺的提問之在三角形內

Filed under: Additional / Applied Mathematics,HKCEE — johnmayhk @ 12:43 下午
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剛下課,中五生 Woody 問:如何判別一點是否在三角形內?

即已知 A(a,b), B(c,d), C(e,f),如何知道 D(x,y) 是否在三角形 ABC 內?

畫一個準確的圖當然可以,但這不是數學人的答案。

我只想出一個方法: (more…)

2009/09/25

Find dy/dx at a point not on the curve

Filed under: Additional / Applied Mathematics,HKCEE — johnmayhk @ 4:50 下午
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When distributing the marked test paper to students, one student, Carman, reminded me that there was a ‘question’ in the following question:

If x^3 - 4x^2y + 3xy^2 - y^5 = 10, find \frac{dy}{dx} at the point (-2,1).

Carman said, ‘the point does NOT lie on the curve.’

Good observation! I had to say thank you to him. Although I’m not the setter, I should bear the responsibility of checking the paper.

But a natural follow-up question turns up: what is the meaning of the number \frac{dy}{dx}|_{(-2,1)} = \frac{31}{33} we are obtaining? Is the number meaningless or standing for something?

Let’s consider a simple example. (more…)

2009/08/30

Finding general term by generating function

It is extremely easy to set up questions on number pattern, like

1, 3, 8, 19, 42, 89, ?

for more details, we may tabulate the question as:

the question is, when n = 6, what is the value of a_n?

My first reply to such kind of question is

“no need to do" (more…)

2009/08/23

等闊曲線 2

Filed under: HKCEE,mathematics — johnmayhk @ 12:28 下午
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上回介紹了其中一類等闊曲線:curvilinear polygon(曲線多邊形)的構作方法。依循該作法而得的曲線多邊形,其角(corner)的數目必為奇數,為何?以下圖顯示的七角曲線多邊形為例:

可以看到,

「每一個角對面對應著一個圓弧;同樣,每一個圓弧對面也對應著一個角」 – – – – – – (*)

任意由一個角出發,比方說,由角 A 出發, (more…)

2009/08/10

等闊曲線 1

Filed under: Fun,HKCEE,mathematics — johnmayhk @ 9:32 下午
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以前看小學 ETV,其中有討論:為何車輪的形狀要是圓形?因為圓形車輪可使車輛行駛時平穩,為說明這事,ETV 中虛擬(比方說)三角形車輪的情況,結果車子行駛時上下嚴重搖晃,非常不平穩云云。所謂平穩,乃指在行車時車身和平地距離保持一致,即 w = 常數(見下圖)。

諸君莫見笑,車,豈會如此簡單?平穩與否,起碼和懸掛系統有關。抱歉,我講數而已。

車輪圍繞固定車軸轉動,那麼要保持(所謂的)平穩,車輪必為圓形;但若沒有車軸,純粹好像原始人把重物放置在一排圓木上推動般,那麼除了圓形,還有沒有別的形狀,可以達至「w = 常數」的效果? (more…)

2009/07/06

公平分配

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 2:24 下午
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A.

小學一年級 IQ 題:如何公平地把 4 個橙公平分給 7 個小朋友?

答曰:哼,用搾汁機啦!(有 D 似「愛『夫』堅」廣告 …)

B.

開心 share 一個童年片段,是公平分配的反面教材,不知我的弟弟記得否?

話說 N 年前某天,某某送了一粒瑞士糖給我和弟弟,注意,係一粒(點解唔送多粒?)。因為粒糖好硬,刀不能分;於是我告訴弟弟:「等我咬一半畀你啦。」弟弟一直站在我旁,等呀等…等了很久…我還沒有分一半給他,出事!因為我一路咬下咬下,唔覺唔覺冇o左件事,成粒食曬!之後點?忘記了。 (more…)

2009/05/13

數數唸

一.

以下數字是「旋轉對稱」的嗎?

1961 (more…)

2009/04/28

有關圓形方程和軌跡的無聊討論

Filed under: HKCEE,mathematics — johnmayhk @ 4:28 下午
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【其一】 上課材料

To 4E students: you may download the worksheet (2009-04-24) at

f4-additional-mathematics-worksheet-20090424

together with some exploration at

http://www.hkedcity.net/ihouse_tools/forum/read.phtml?forum_id=27877&current_page=&i=1247383&t=1247383

【其二】 笑到喊

形如下式的二元二次方程

x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 – – – – – – (*)

中四的同學知道,其圖像代表著圓形(指實圓圓周 circumference of real circle)。

現在反過來,代表著圓形的方程式,是否一定形如 (*)?(即二元二次)

不一定,以下是一條二元四次方程方程

x^4 + 2x^3 + (2y^2 - 2y - 1)x^2 + (2y^2 - 2y - 2)x + y^4 - 2y^3 - y^2 + 2y + 1 = 0

其圖像,也是圓形。為何? (more…)

2009/03/29

大數值的乘階

中四同學在學期初已接觸乘階(factorial) n! 的運算。比如

1! = 1
2! = 1 \times 2 = 2
3! = 1 \times 2 \times 3 = 6
4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24

理論上,這個正整數 n,可以「要幾大,有幾大」;但實際上,我們日常接觸的運算工具,必有其限制;用 EXCEL 2003,只可以算出的最大乘階是

170! \approx 7.2574 \times 10^{306}

這個數字有多大? (more…)

2009/01/31

拉 curve

Filed under: Additional / Applied Mathematics,Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 10:48 下午
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中二的同學問我如何「拉 curve」(即調整分數),讓我略談。

比如數學科某次考試結果,最高和最低分數分別為 79 分及 4 分,但因為及格率只有三成,太低,於是把原本得 42 分的變成及格,即 50 分,以符合某一個及格率。調整分數後,新的最高和最低分數,仍然為 79 分及 4 分。

調整分數方法有無限多種 (more…)

2009/01/10

John 的心情仍然欠佳,為何?

Filed under: Life,mathematics — johnmayhk @ 3:15 下午
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昨晚陶才子談到香港初中的國民教育(?)某範例題目(聞說是在教育局網頁找的):

如你被誤認為是日本人,心情會如何?

A. 感到光榮
B. 沒有感覺
C. 感到憤怒(?)

建議答案稱:如果答 A,表示學生對中國歷史不太認識云云。 (more…)

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