Quod Erat Demonstrandum

2017/01/11

三次方程某解法

Filed under: NSS — johnmayhk @ 6:32 下午
Tags:

如何解三次方程(cubic equation)

x^3-26x-5=0 ?

這裡有個解法:

x^3-26x-5=0

\Rightarrow -x(5)^2-(5)+x^3-x=0

變成一條 quadratic equation in ‘5’,於是

\Rightarrow 5=\frac{1\pm \sqrt{1-4(-x)(x^3-x)}}{2(-x)}

\Rightarrow -10x-1=\pm\sqrt{(2x^2-1)^2}

所以 (more…)

2016/10/30

old trick is so…

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 1:02 下午
Tags:

偶見網上某題:

\displaystyle x=\frac{\sqrt{km+n}+\sqrt{km-n}}{\sqrt{km+n}-\sqrt{km-n}}  (n\neq 0),求 nx^2-2kmx+n 的值。

偶見網民解之:

\displaystyle x=\frac{\sqrt{km+n}+\sqrt{km-n}}{\sqrt{km+n}-\sqrt{km-n}}

\Rightarrow \displaystyle \frac{x+1}{x-1}=\frac{\sqrt{km+n}}{\sqrt{km-n}} ………. (1) (more…)

2016/06/14

正七邊形

Filed under: Fun — johnmayhk @ 12:07 上午
Tags: , ,

如無必要都唔想拍片,超累的說:

(習題)從片中某些結果不難推出以下命題: (more…)

2016/06/06

和扇形有關的某積分

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 12:27 下午
Tags: , ,

以積分求面積,基本概念也。

故不用真正去計算,只要明白

\displaystyle \int^1_0\sqrt{1-x^2}dx

代表四分一個單位圓的面積,立即知

\displaystyle \int^1_0\sqrt{1-x^2}dx=\frac{\pi}{4}

改變積分上限為 t,M2 同學也懂計算

\displaystyle \int_0^t\sqrt{1-x^2}dx (其中 0 < t < 1

x=\sin\theta 又或用部分積分吧。但以圖示之,求上述積分,即是求下圖著色部分面積:

johnmayhk-intefrate-square-root-of-one-minus-x-square (more…)

2015/09/13

一式過

Filed under: Pure Mathematics — johnmayhk @ 5:19 下午
Tags: , ,

比如要寫出以下數列的通項

-1,1,-1,1,\dots

應該不難得出

(-1)^n

吧。(這樣假設上述數列的變化模式不變,一直都是「負 1 正 1」咁去。)

但還有沒有其他可能?

有的,比如 (more…)

2014/11/14

M2 堂偶拾

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 8:19 下午
Tags: , ,

linear_algebra_for_game_developers
教 vector 時,堂上偶得:

1.

\cos^{-1}\frac{4}{5}+2\tan^{-1}\frac{1}{2}=90^o

其實沒有甚麼特別,只要考慮邊長 1 單位的正方形如下:

johnmayhk-20141114

比如利用 vector 或 cosine formula,不難得 (more…)

2014/08/08

利用比較係數做積分

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 12:16 上午
Tags: , ,

之前談過積分的某技巧,見

https://johnmayhk.wordpress.com/2012/02/07/integration-by-parts/

現談另一個。

例 1

考慮多項式 P(x),易知

\frac{d}{dx}P(x)e^x=(P(x)+P'(x))e^x

注意到

P(x)P(x)+P'(x) 皆是多項式,且它們的次數(degree)相同,

換言之 (more…)

2014/05/16

證明某級數

Filed under: Fun,Pure Mathematics — johnmayhk @ 11:00 下午
Tags: , ,

早前在網上見下圖

johnmayhk-r-f

聞說上式曾走進 Ramanujan 的夢中。

其實曾修讀中學純數的同學也懂得證明上式。

第一步是把 (more…)

2014/01/01

HT

Filed under: Additional / Applied Mathematics,Fun,HKALE — johnmayhk @ 12:27 上午
Tags: ,

以下題目也見過數次,現在才知是 1981 年比利時數學競賽的某題目:

不停擲一枚公平硬幣,問以下哪一事件出現的機會較大?

(a) THT 比 TTT 先出現;
(b) TTT 比 THT 先出現。

(T = tail,H = head)

比如

HHTHHHHTHTHHHTT… 就是 (a) 其中一種情況;
HTTHHHTTHHTTTHT… 就是 (b) 其中一種情況;

不知諸君會否認為 (a) 和 (b) 出現之機會均等?

非也, (more…)

2010/11/12

99 現象

Filed under: Fun,Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 4:10 下午
Tags: ,

如果 p 是質數,而 \frac{1}{p} 是循環小數,比如

\frac{1}{3} = 0.\overline{3}

\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}

我們可以觀察一下所謂「循環節的長度」(period),即循環節內有多少個數字。

比如,

0.\overline{3} 的 period = 1;

0.\overline{142857} 的 period = 6。

當 period 是偶數時,有一個有趣現象。

既然循環節的長度是偶數 (more…)

2009/05/12

用 logarithm 計出頭幾個位

Filed under: HKCEE,mathematics — johnmayhk @ 12:05 下午
Tags: ,

昨天匆匆出了份中四 logarithm 的習作,其中一題:

Find the first digit of 1997^{2009}.

留意,我們不是找「個位」,而是找「第一個位」是什麼。 (more…)

2009/03/30

Simple questions about mean value theorem

Filed under: HKALE,Pure Mathematics — johnmayhk @ 5:20 下午
Tags: , ,

For your revision, students.

Question 1

Suppose f(1) = f(2) = 0, f(3) = 1 and f is twice differentiable on [0,3].

Show that f''(c) > \frac{1}{2}

for some c \in (0,3).

Question 2

Suppose f(0) = 0, f(1) = 1, f is differentiable on [0,1].

Show that \frac{1}{f'(a)} + \frac{1}{f'(b)} = 2

for some a, b \in (0,1). (more…)

2009/02/19

Just an old question about F.4 trigonometry

Filed under: Additional / Applied Mathematics,HKCEE — johnmayhk @ 9:55 下午
Tags: ,

It is glad that F.4 students asked me how to evaluate

\sin1^o \times \sin2^o \times \sin3^o \times \dots \times \sin90^o

Here is a way. (more…)

2009/02/01

卡爾松(Carleson)不等式

Filed under: Pure Mathematics — johnmayhk @ 9:25 下午
Tags: , , ,

Carleson first inequality

Let a_1, a_2, \dots , a_n \in \mathbb{R}, then

(a_1 + a_2 + \dots + a_n)^2 < \frac{\pi^2}{6}(a_1^2 + 2^2a_2^2 + \dots + n^2a_n^2)

Carleson second inequality

Let a_1, a_2, \dots , a_n \in \mathbb{R}, then

(a_1 + a_2 + \dots + a_n)^4 < \pi^2(a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2)(a_1^2 + 2^2a_2^2 + \dots + n^2a_n^2)

沒有額外添加的人工化前提,得出不平凡的結果。

證明 (more…)

2009/01/19

數尾零

Filed under: mathematics — johnmayhk @ 11:09 上午
Tags: , ,

2009-01-16 學校旅行日,有同學問:找出最大正整數 y 使

\frac{20090116!}{10^y}

是整數,我匆匆答:只要知道 20090116! 有多少個因子 5 便可。

同學不滿我的答案 (more…)

後一頁 »

在WordPress.com寫網誌.