# Quod Erat Demonstrandum

## 2019/02/01

### 帕斯卡三角某結果

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 5:35 下午
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$f^{[1]}(x)=f(x)$

$f^{[2]}(x)=f(f(x))$ (more…)

## 2018/11/20

### 費氏講

Filed under: Additional / Applied Mathematics,Fun,Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 6:36 下午
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N 年前往中一班代堂，必談「64 = 65」謎題：

(圖片來源：https://i.stack.imgur.com/fWdMd.jpg)

## 2018/03/22

### a question about inequality with derivatives

Filed under: Fun,mathematics,NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 3:46 下午
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Question

Let $p(x)$ be a polynomial with real coefficients. Prove that if $p(x)-p'(x)-p''(x)+p'''(x)\ge 0$ for any real $x$, then $p(x) \ge 0$ for any real $x$.

Solution (elementary) (more…)

## 2018/03/14

### 黃金比某級數

Filed under: Fun,mathematics,NSS — johnmayhk @ 11:11 上午
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$\displaystyle \Phi=\frac{1}{\Phi}+\frac{1}{\Phi^2}+\frac{1}{\Phi^3}+\dots$

$\displaystyle \Phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

(more…)

## 2017/11/14

### as gs

Filed under: Additional / Applied Mathematics,mathematics,NSS — johnmayhk @ 12:29 上午
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Derive the formula for the sum of first $n$ terms of the following sequence in terms of $a,b,d,r,n$, where $r \ne 1$.

$ab,(a+d)br,(a+2d)br^2,(a+3d)br^3,\dots$

## 2017/01/11

### 三次方程某解法

Filed under: NSS — johnmayhk @ 6:32 下午
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$x^3-26x-5=0$　？

$x^3-26x-5=0$

$\Rightarrow -x(5)^2-(5)+x^3-x=0$

$\Rightarrow 5=\frac{1\pm \sqrt{1-4(-x)(x^3-x)}}{2(-x)}$

$\Rightarrow -10x-1=\pm\sqrt{(2x^2-1)^2}$

## 2016/10/30

### old trick is so…

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 1:02 下午
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$\displaystyle x=\frac{\sqrt{km+n}+\sqrt{km-n}}{\sqrt{km+n}-\sqrt{km-n}}$　　（$n\neq 0$），求 $nx^2-2kmx+n$ 的值。

$\displaystyle x=\frac{\sqrt{km+n}+\sqrt{km-n}}{\sqrt{km+n}-\sqrt{km-n}}$

$\Rightarrow \displaystyle \frac{x+1}{x-1}=\frac{\sqrt{km+n}}{\sqrt{km-n}}$ ………. (1) (more…)

## 2016/06/14

### 正七邊形

Filed under: Fun — johnmayhk @ 12:07 上午
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（習題）從片中某些結果不難推出以下命題： (more…)

## 2016/06/06

### 和扇形有關的某積分

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 12:27 下午
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$\displaystyle \int^1_0\sqrt{1-x^2}dx$

$\displaystyle \int^1_0\sqrt{1-x^2}dx=\frac{\pi}{4}$

$\displaystyle \int_0^t\sqrt{1-x^2}dx$　（其中 $0 < t < 1$

$x=\sin\theta$ 又或用部分積分吧。但以圖示之，求上述積分，即是求下圖著色部分面積：

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## 2015/09/13

### 一式過

Filed under: Pure Mathematics — johnmayhk @ 5:19 下午
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$-1,1,-1,1,\dots$

$(-1)^n$

## 2014/11/14

### M2 堂偶拾

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 8:19 下午
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1.

$\cos^{-1}\frac{4}{5}+2\tan^{-1}\frac{1}{2}=90^o$

## 2014/08/08

### 利用比較係數做積分

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 12:16 上午
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https://johnmayhk.wordpress.com/2012/02/07/integration-by-parts/

$\frac{d}{dx}P(x)e^x=(P(x)+P'(x))e^x$

$P(x)$$P(x)+P'(x)$ 皆是多項式，且它們的次數（degree）相同，

## 2014/05/16

### 證明某級數

Filed under: Fun,Pure Mathematics — johnmayhk @ 11:00 下午
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## 2014/01/01

### HT

Filed under: Additional / Applied Mathematics,Fun,HKALE — johnmayhk @ 12:27 上午
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(a) THT 比 TTT 先出現；
(b) TTT 比 THT 先出現。

（T = tail，H = head）

HHTHHHHTHTHHHTT… 就是 (a) 其中一種情況；
HTTHHHTTHHTTTHT… 就是 (b) 其中一種情況；

## 2010/11/12

### 99 現象

Filed under: Fun,Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 4:10 下午
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$\frac{1}{3} = 0.\overline{3}$

$\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}$

$0.\overline{3}$ 的 period = 1；

$0.\overline{142857}$ 的 period = 6。