正多邊形作圖法

我在工業學校渡過中學生活。已往在工業學校，繪圖是必修科（現在好像稱為『圖象傳意科』）。從中一開始，我們便手拿大大塊的繪圖木版，插著 T 尺上課，每星期也要寫 lettering（功效類似我年代幼稚園練字用的 copy book，不知現在還有嗎？）以打好寫字的基本功。繪圖科，大概分幾何繪圖和機械繪圖（不知今天是否仍是這樣？）我最有興趣是初中的幾何繪圖。記得那位胖胖的潘老師教導我們如何繪畫幾何圖形，特別是繪畫螺旋線（類似 DNA 結構）和一個柱體插在一個錐體時，那相交部分的所謂交截線…慬得繪畫那些東西，當時感到非常厲害。至於機械繪圖方面，我的成績就很糟，因為我繪得十分慢、有時不明題目指示還把圖弄得很穢，不時要（接近）通頂完成繪圖家課。簡直是惡夢！而這個惡夢一直延續到在 hku civil eng 的繪圖習作上，換了的不過是針筆和牛油紙，再之後用 AutoCAD，那種恐懼有增無減，所以，相對於繪製準確長度的線段和弧形，我還是喜歡運用自由符號來學習數學。比較『幸運』，我們在中一二，已經慬得不同方法繪畫某些正多邊形了，對於我們學習數學中的幾何有多一層理解。莫說繪圖，在正規的中學數學課程裡，老早已把幾何中的作圖題削掉，當今天中二的數學教科書上，仍殘留記有正五邊形的某繪圖作法（即不用量角器，只憑圓規和直尺／直邊繪製，即所謂尺規作圖）時，同學也不以為然。嗯，有時削掉課程是因時制宜，比如，我們會為削掉繁雜單位互換（比如還要著學生筆算一品脫等於多少加侖嗎？ ）或四位對數表而可惜嗎？

嘩，死，起承轉合的『起』太喧賓奪主了，係時候收手。入正題。

年輕的高斯已懂作正十七邊形，我就由正七邊形說起。

隨便畫個圓，圓心為，半徑隨意，姑且是 吧，再隨便畫條直徑 ，見下圖。

現在以 為圓心， 為半徑晝弧，交第一個圓於 及 ，見下圖。

連 ，交半徑 於 ，見下圖。注意到， 是 的垂直平分線。

這時，我們大概得到七邊形的邊長，正是 的長度。換言之，我們可以 作半徑， 為圓心畫弧，交大圓於 及 作為正七邊形的頂點，見下圖。

類似地，只要用圓規固定長度 ，在大圓周上畫弧，可得：，， 及 ，見下圖。

把頂點連起，可得（近似的）正七邊形，見下圖。

不知有沒有讀者真的拿起圓規直尺依樣畫葫蘆？相信沒有吧。不知是否真實，讀數的人不太喜歡動手做實驗，一切實驗最好在腦海中完成。不過，要畫圖也輕易，兩大繪圖軟件為你效勞。

上述畫七邊形的方法簡單，但畫出來的是否真是一個正七邊形？答案是否定。原來（數學通識時間到！），如果 是奇質數，且不是費馬數（即形如 者，其中 是非負整數），例如 ，則我們不能以尺規作出正 邊形。雖是這樣，但上法的確畫出了差不多是正七邊形的東西，為何？好了，中二的同學請完成以下習題。

參上面的圖。設圓心為 的圓半徑是 。
1. 考慮 ，並運用畢氏定理，證明 。
2. 証明，真正的圓內接正七邊形，一邊長度是 。

從上述結果可見，如果圖不是畫得太大，誤差的影響或許不易察覺。

好了，現在畫正九邊形。準備好了嗎？

起手式都是和七邊形的差不多，見下圖，都是先找半徑 的垂直平分線， 交 於 。

隨即以 為圓心，半徑 畫弧，交 於 。

為方便看，移走一些作圖線，如下

現以 為底，作正三角形。作法簡單，分別以 和 為圓心， 為半徑畫弧，相交於 （這樣， 就是正三角形），見下圖。

為方便看，移走一些作圖線，如下

結連 ，交大圓於 ，見下圖。

這時，正九邊形的一條邊長就是 的長度，用圓規依次複製，見下圖。

我們便得到正九邊形的頂點， 了。

同樣地，上法繪出的，並非真正的正九邊形，但在實踐層面來看，已經不錯了，為什麼？嗯，今次到中四修讀附加數學的同學處理以下習題：

讓我們回頭看看這圖

設 。
1. 試解釋為何 ？
2. 試解釋為何 ？
3. 證明 。
4. 考慮 ，利用正弦定律（sine law）推出以下關係：
　　
5. 求 的數值，從而尋求 的大小。
6. 正九邊形的中心角是 ，試比較一下第 5 題之答案，看看相差多少。

同學試試，當做暑期功課吧。

大家可以想像，如果畫不同的正多邊形，有著不同的方法，是頗麻煩的事（不過，現在不是古代，還有誰無聊到好似我咁o係到畫正多邊形呢？已經有軟件啦。）；幸而我們有統一的作圖法，可以大致地畫出近似的正多邊形，就是所謂萊納基方法及陀因比耶方法。但，我已寫到很累，無心做圖，留待你自己找找以下小書作為延伸閱讀：

《數學大觀園》夏明德著

後記：上網一查，現在書價是差不多 $180，How come! 我看到當年大陸標價是 7.80 元，我買時也不過是 $32。