Quod Erat Demonstrandum

2008/07/31

正多邊形作圖法

Filed under: Additional / Applied Mathematics,HKCEE,Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 11:01 下午

我在工業學校渡過中學生活。已往在工業學校,繪圖是必修科(現在好像稱為『圖象傳意科』)。從中一開始,我們便手拿大大塊的繪圖木版,插著 T 尺上課,每星期也要寫 lettering(功效類似我年代幼稚園練字用的 copy book,不知現在還有嗎?)以打好寫字的基本功。繪圖科,大概分幾何繪圖和機械繪圖(不知今天是否仍是這樣?)我最有興趣是初中的幾何繪圖。記得那位胖胖的潘老師教導我們如何繪畫幾何圖形,特別是繪畫螺旋線(類似 DNA 結構)和一個柱體插在一個錐體時,那相交部分的所謂交截線…慬得繪畫那些東西,當時感到非常厲害。至於機械繪圖方面,我的成績就很糟,因為我繪得十分慢、有時不明題目指示還把圖弄得很穢,不時要(接近)通頂完成繪圖家課。簡直是惡夢!而這個惡夢一直延續到在 hku civil eng 的繪圖習作上,換了的不過是針筆和牛油紙,再之後用 AutoCAD,那種恐懼有增無減,所以,相對於繪製準確長度的線段和弧形,我還是喜歡運用自由符號來學習數學。比較『幸運』,我們在中一二,已經慬得不同方法繪畫某些正多邊形了,對於我們學習數學中的幾何有多一層理解。莫說繪圖,在正規的中學數學課程裡,老早已把幾何中的作圖題削掉,當今天中二的數學教科書上,仍殘留記有正五邊形的某繪圖作法(即不用量角器,只憑圓規和直尺/直邊繪製,即所謂尺規作圖)時,同學也不以為然。嗯,有時削掉課程是因時制宜,比如,我們會為削掉繁雜單位互換(比如還要著學生筆算一品脫等於多少加侖嗎? )或四位對數表而可惜嗎?

嘩,死,起承轉合的『起』太喧賓奪主了,係時候收手。入正題。

年輕的高斯已懂作正十七邊形,我就由正七邊形說起。

隨便畫個圓,圓心為O,半徑隨意,姑且是 R 吧,再隨便畫條直徑 AB,見下圖。

現在以 B 為圓心,R 為半徑晝弧,交第一個圓於 CD,見下圖。

CD,交半徑 OBE,見下圖。注意到,CDOB 的垂直平分線。

這時,我們大概得到七邊形的邊長,正是 CE 的長度。換言之,我們可以 CE 作半徑,A 為圓心畫弧,交大圓於 A_1A_6 作為正七邊形的頂點,見下圖。

類似地,只要用圓規固定長度 CE,在大圓周上畫弧,可得:A_2A_3A_4A_5,見下圖。

把頂點連起,可得(近似的)正七邊形,見下圖。

不知有沒有讀者真的拿起圓規直尺依樣畫葫蘆?相信沒有吧。不知是否真實,讀數的人不太喜歡動手做實驗,一切實驗最好在腦海中完成。不過,要畫圖也輕易,兩大繪圖軟件為你效勞。

上述畫七邊形的方法簡單,但畫出來的是否真是一個正七邊形?答案是否定。原來(數學通識時間到!),如果 p 是奇質數,且不是費馬數(即形如 2^{2^{n}} + 1 者,其中 n 是非負整數),例如 p = 7,則我們不能以尺規作出正 p 邊形。雖是這樣,但上法的確畫出了差不多是正七邊形的東西,為何?好了,中二的同學請完成以下習題。

參上面的圖。設圓心為 O 的圓半徑是 R
1. 考慮 \Delta CEO,並運用畢氏定理,證明 CE \approx 0.86602R
2. 証明,真正的圓內接正七邊形,一邊長度是 2R\sin\frac{360}{14} \approx 0.86776R

從上述結果可見,如果圖不是畫得太大,誤差的影響或許不易察覺。

好了,現在畫正九邊形。準備好了嗎?

起手式都是和七邊形的差不多,見下圖,都是先找半徑 OC 的垂直平分線,ABOCM

隨即以 M 為圓心,半徑 OC 畫弧,交 ABD

為方便看,移走一些作圖線,如下

現以 MD 為底,作正三角形。作法簡單,分別以 MD 為圓心,MD 為半徑畫弧,相交於 E(這樣,\Delta MDE 就是正三角形),見下圖。

為方便看,移走一些作圖線,如下

結連 EO,交大圓於 F,見下圖。

這時,正九邊形的一條邊長就是 BF 的長度,用圓規依次複製,見下圖。

我們便得到正九邊形的頂點,B, F, A_1, A, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6 了。

同樣地,上法繪出的,並非真正的正九邊形,但在實踐層面來看,已經不錯了,為什麼?嗯,今次到中四修讀附加數學的同學處理以下習題:

讓我們回頭看看這圖

\angle COF = \theta
1. 試解釋為何 \angle FOB = 60^{o} - \theta
2. 試解釋為何 \angle CME = 30^{o}
3. 證明 \angle MEO = 30^{o} - \theta
4. 考慮 \Delta MEO,利用正弦定律(sine law)推出以下關係:
  2\sin (30^{o} - \theta) = \sin \theta
5. 求 \theta 的數值,從而尋求 \angle FOB 的大小。
6. 正九邊形的中心角是 \frac{360^{o}}{9} = 40^{o},試比較一下第 5 題之答案,看看相差多少。

同學試試,當做暑期功課吧。

大家可以想像,如果畫不同的正多邊形,有著不同的方法,是頗麻煩的事(不過,現在不是古代,還有誰無聊到好似我咁o係到畫正多邊形呢?已經有軟件啦。);幸而我們有統一的作圖法,可以大致地畫出近似的正多邊形,就是所謂萊納基方法及陀因比耶方法。但,我已寫到很累,無心做圖,留待你自己找找以下小書作為延伸閱讀:

《數學大觀園》夏明德著

後記:上網一查,現在書價是差不多 $180,How come! 我看到當年大陸標價是 7.80 元,我買時也不過是 $32。

1 則迴響 »

  1. 其實有更好更快更簡潔的方式….. 然而這些公式數十種 當中 依然沒有所謂「正確」的畫法,僅能用理想直稱它

    迴響 由   — 2012/12/21 @ 11:44 下午 | 回覆


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