Quod Erat Demonstrandum

2014/08/26

蠕蟲悖論

Filed under: Fun,mathematics — johnmayhk @ 7:58 下午

很久以前聽聞蠕蟲悖論這個謎題,今天隨便在書櫃拿本書翻翻,見:

johnmayhk-worm-paradox

想一想 (more…)

2014/08/11

吃驚積分

Filed under: Fun,Pure Mathematics — johnmayhk @ 9:18 下午
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\displaystyle \int_0^\infty \frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2}

檢查一下:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+sin%28x%29%2Fx+from+0+to+infinity

原來

\displaystyle \int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\cdot \frac{\sin (x/3)}{(x/3)}dx=\frac{\pi}{2}

又檢查一下:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%28sin%28x%29%2Fx%29%28sin%28x%2F3%29%2F%28x%2F3%29%29+from+0+to+infinity

甚至 (more…)

2014/08/10

簡單數算

Filed under: Fun,Junior Form Mathematics,NSS — johnmayhk @ 11:44 下午
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欣賞數學,有時不是結果,而是在乎過程:美麗證明。

上次談過利用數算來證明

1+2+3+\dots +(n-1)=C^n_2

https://johnmayhk.wordpress.com/2011/12/21/simple-counting/

現在談另一個。

考慮下圖

johnmayhk-triangular-binomial-1 (more…)

2014/08/09

點解

Filed under: Fun — johnmayhk @ 9:25 上午
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把 n 人分若干組,各組人數不一定相同。

a_k = 不少於 k 人的組數。

(易知 a_1\ge a_2\ge a_3\ge \dots

b_k = 人數排第 k 位(由多至少排列)的組,其組內人數。

(易知 b_1\ge b_2\ge b_3\ge \dots

1.證明

a_1+a_2+a_3+\dots=b_1+b_2+b_3+\dots

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2014/08/08

利用比較係數做積分

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 12:16 上午
Tags: , ,

之前談過積分的某技巧,見

https://johnmayhk.wordpress.com/2012/02/07/integration-by-parts/

現談另一個。

例 1

考慮多項式 P(x),易知

\frac{d}{dx}P(x)e^x=(P(x)+P'(x))e^x

注意到

P(x)P(x)+P'(x) 皆是多項式,且它們的次數(degree)相同,

換言之 (more…)

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