Quod Erat Demonstrandum

2018/04/17

互斥與獨立

Filed under: NSS — johnmayhk @ 12:37 下午
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免插聲明:純粹記錄某堂的片段,高手見諒。

今天上中五數學堂頗開心,可以和同學多點交流。剛開始談條件概率(conditional probability),有同學看到兩個分開的圈圈代表的事件:

問它們是彼此獨立的事件(independent events)嗎?

因為從圖看來,兩件事似乎不會影響對方。

這看法似乎頗合理:兩個東西分開,它們就冇影響,冇關。可是,數學上談獨立,另有所指;

兩件事彼此獨立,即一件事發生與否,不影響另一件事發生之機會。

而機會(機會率),其實要計過才知,往往不能單靠看隨便畫的草圖 Venn diagram 直接「看」出來。

目測兩個分開的圈圈,只會立即知道:那代表的兩件事是互斥事件(exclusive event)

至於它們是否獨立?要計計。

假設 A,B 都是非空集(non-empty),已知 A 和 B 無相交,即 P(A\capB) 是零,故此 P(A|B) 是零;但 P(A) 非零,於是 P(A|B) 肯定不等於 P(A);即事件 A 和 B 不是彼此獨立的事件!

想一想,如果 B 發生,A 發生的機會為零;如果 B 不發生,則 A 發生的機會不是零,如此,B 的發生,正影響 A 發生的機會,故它們肯定「有關係」,彼此「有影響」,不是彼此獨立。

若兩集相交,即它們代表的事件不是互斥事件,但它們彼此獨立嗎?要計計。

可以檢查 P(A\capB) 是否等於 P(A)P(B),是者,獨立也;不是者,非獨立也。

參考下圖。

假設以面積代表該集的元之數目(number of outcomes),則 n(S) = 100;n(A) = 10;n(B) = 20。

上圖可見 n(A\capB) = 4,於是 P(A\capB) = 4/100;而 P(A)P(B) = (10/100)(20/100) = 2/100 不等於 P(A\capB),故 A 和 B 並非彼此獨立。

但把 A 下移少許:

如此,A 和 B 便成了獨立的事件,同學試證明之。

網上找來下圖:


目測,左邊正確;右邊?無從得知。

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