互斥與獨立

免插聲明：純粹記錄某堂的片段，高手見諒。

今天上中五數學堂頗開心，可以和同學多點交流。剛開始談條件概率（conditional probability），有同學看到兩個分開的圈圈代表的事件：

問它們是彼此獨立的事件（independent events）嗎？

因為從圖看來，兩件事似乎不會影響對方。

這看法似乎頗合理：兩個東西分開，它們就冇影響，冇關。可是，數學上談獨立，另有所指；

兩件事彼此獨立，即一件事發生與否，不影響另一件事發生之機會。

而機會（機會率），其實要計過才知，往往不能單靠看隨便畫的草圖 Venn diagram 直接「看」出來。

目測兩個分開的圈圈，只會立即知道：那代表的兩件事是互斥事件（exclusive event）

至於它們是否獨立？要計計。

假設 A，B 都是非空集（non-empty），已知 A 和 B 無相交，即 P(AB) 是零，故此 P(A|B) 是零；但 P(A) 非零，於是 P(A|B) 肯定不等於 P(A)；即事件 A 和 B 不是彼此獨立的事件！

想一想，如果 B 發生，A 發生的機會為零；如果 B 不發生，則 A 發生的機會不是零，如此，B 的發生，正影響 A 發生的機會，故它們肯定「有關係」，彼此「有影響」，不是彼此獨立。

若兩集相交，即它們代表的事件不是互斥事件，但它們彼此獨立嗎？要計計。

可以檢查 P(AB) 是否等於 P(A)P(B)，是者，獨立也；不是者，非獨立也。

參考下圖。

假設以面積代表該集的元之數目（number of outcomes），則 n(S) = 100；n(A) = 10；n(B) = 20。

上圖可見 n(AB) = 4，於是 P(AB) = 4/100；而 P(A)P(B) = (10/100)(20/100) = 2/100 不等於 P(AB)，故 A 和 B 並非彼此獨立。

但把 A 下移少許：

如此，A 和 B 便成了獨立的事件，同學試證明之。

網上找來下圖：

目測，左邊正確；右邊？無從得知。