Quod Erat Demonstrandum

2016/08/29

講兩題

Filed under: Junior Form Mathematics,NSS — johnmayhk @ 5:02 下午
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seize-the-moment-geek-green

對,seize the moment,抓緊此際講兩題。

(注:上圖式子是 k^{th} moment 的定義。特別地,當 k=2,它就是方差 variance。)

(一)

修物理的同學一定學過透鏡公式(lens formula)

\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v} (more…)

2016/08/08

點解2

Filed under: Fun,mathematics — johnmayhk @ 11:12 下午
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1+2+3+\dots +(n-1)+n+(n-1)+\dots +3+2+1=?

簡單

\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n-1)n}{2}=n^2

是也。

如果變成中四 M2 的 MI 習題:

利用數學歸納法證明,對於任何正整數 n

1+2+3+\dots +(n-1)+n+(n-1)+\dots +3+2+1=n^2

不知同學會否覺得不太容易? (more…)

2016/06/16

平方和和積

Filed under: Fun — johnmayhk @ 2:58 下午
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n_1,n_2,n_3,\dots

為正整數,則

(1) n_1^2+n_2^2=n_1n_2 是不可能的。
(2) 若 n_1^2+n_2^2+n_3^2=n_1n_2n_3,則 n_1n_2n_3 可被 27 整除。 (more…)

2016/02/19

hcf and lcm

Filed under: NSS — johnmayhk @ 11:14 上午
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某必修數學題:

若多項式 P4x^2y^2z^2 的 H.C.F. 及 L.C.M. 分別為 2x^2yz^220x^2y^2z^3,求 P

可能一開始已向學生提及,對於任何兩個正整數 a,b,恆有

ab= H.C.F \times L.C.M.

有學生解上題如下: (more…)

2015/09/22

質數定理

Filed under: Pure Mathematics,University Mathematics — johnmayhk @ 3:37 下午
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以前錯過了這個有趣的,關於質數定理的短片:

曾在複變課遇過質數定理的證明,偶看「數學資料庫」:

http://www.mathdb.org/articles/prime/c_prime.htm

才知它有初等證明。隨便網尋,見: (more…)

2012/01/18

[FW] NOVA scienceNOW | Twin Prime Conjecture | PBS

Filed under: Fun — johnmayhk @ 9:51 下午
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2011/08/25

無聊談整數

Filed under: Fun,mathematics — johnmayhk @ 9:22 下午
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p 為大於 3 的質數,同學,試探究一下

p^2\div 12

的餘數,看看有甚麼發現。

::::::::::

看下去之前,希望同學真的找不同的 p 試試… …

::::::::::

其實,任何大於 3 的質數 (more…)

2011/02/09

解線性不定方程

Filed under: Pure Mathematics — johnmayhk @ 1:57 下午
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所謂前言

不知從何時開始,「尋求最大公因/約數」成了政治術語,其意義大概是「尋求最大共識或妥協」之類。正本清源,大家還記否數學上是如何尋求最大公因數(Highest Common Factor, H.C.F.)?

比如,要尋求 51 和 390 的最大公因數,現在的小學生應懂用「列舉法」處理,即

51=3 \times 17

390=2 \times 3 \times 5 \times 13

可見,51 和 390 的最大公因數是 3。

有「玩」奧數的小學同學,應可進一步解以下的二元一次不定方程(或曰丟番圖方程 diophantine equation)

51x+390y=3

要求 x, y 皆為整數。但相信 (more…)

2010/11/12

99 現象

Filed under: Fun,Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 4:10 下午
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如果 p 是質數,而 \frac{1}{p} 是循環小數,比如

\frac{1}{3} = 0.\overline{3}

\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}

我們可以觀察一下所謂「循環節的長度」(period),即循環節內有多少個數字。

比如,

0.\overline{3} 的 period = 1;

0.\overline{142857} 的 period = 6。

當 period 是偶數時,有一個有趣現象。

既然循環節的長度是偶數 (more…)

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