三垂線定理

（一）前言

第一次聽「三垂線定理」，大抵是今年二月在大同的群組：

第二次聽「三垂線定理」是

某經典幾何題

三個大小不同的圓，沒有一個完全在另一個之內。對於每兩個圓，可畫出兩條公共外切線（common external tangents），及其交點，即下圖的 P，Q，R。

問： P，Q，R 共線（collinear）嗎？同學可以先探究一下（輕輕地改變 A 和 X 的位置吧～）：

https://www.geogebra.org/m/WPk7sZUJ

（若有興趣知如何構作兩圓的外公共切線，可看文末的附錄*）

第一次接觸此題，大概在 1995 年，看以下數普書：

證 Cramer’s rule (無言)

來自 The Mathematics Initiative, Education Development Center 的關於 Cramer’s rule 的無言證明：

兩句：

1.相信為了簡潔，不繪出 及 ，但繪與不繪，無關宏旨。
2.上式 det 計算的是平行六面體體積，而上圖兩個平行六面體之體積明顯相同，故推得結果。

把線性方程組賦予這個圖像意義，美麗！

7 線共點

隨便用 GeoGebra 弄個 movie，見：

這不過是常見問題。初中同學知：平面上三角形的中線共點（稱該點為重心或形心 centroid），那麼立體的情況如何？

如片段所見，三角錐體的 4 條中線 和 3 條 bimedians（不懂中譯如何）也共點。

為何？修 M2 同學可以利用向量

某 m2 題

堂上給學生做習題，是來自 2009 年的 hkdse math(M2) sample paper Q.9

Part (c) 的建議答案，考慮

考慮 為 及 的線性組合（linear combination），即

M2 堂偶拾

教 vector 時，堂上偶得：

1.

其實沒有甚麼特別，只要考慮邊長 1 單位的正方形如下：

比如利用 vector 或 cosine formula，不難得