Quod Erat Demonstrandum

2017/06/10

正多邊形方程

Filed under: Additional / Applied Mathematics,Fun,mathematics,NSS — johnmayhk @ 12:24 下午
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初中學過極座標(polar coordinates),但只限於描述點之位置。至於描述圖像之方程,到高中,課程也只利用 xy-plane,諸如方程 y=x^2 是描述二次圖像云云。其實極座標系統也可描述圖像的方程,只是如此知識早已湮沒在舊課程內。

所謂極座標,即是說,任何一點 P,其座標為 P(r,\theta),其中 rP 和極 O 的距離,\theta 就是 P 的旋轉角(angle of rotation),亦即由所謂正 x-軸量度至 OP 的角度(逆時針者取正,順時針取負)。

所謂利用極座標系統描述圖像方程,即是說,設圖形上任意一點為 P(r,\theta),若找出關係式 r=r(\theta),則該圖像之方程就是 r=r(\theta)

利用極座標系統描述圖像方程,方程有時是很簡潔的。以下看到,利用一條式便可描繪出正多邊形的圖像:

https://www.desmos.com/calculator/vv7stc4nl0

如上圖所示,單位圓外接正 n 邊形的方程是 (more…)

2016/12/11

小心出題

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 11:18 下午
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早前給學生做某高中數學教科書的某習題:

因為課題涉及 cosine law,於是多數學生解 (a),曰:

AB=\sqrt{30^2+45^2-2(30)(45)\cos(60^o-40^o)}=19.7 m

但有少部份學生,以初中手法處理,考慮兩個直角三角形,得

AB=45\cos 40^o-30\cos 60^o=19.5 m

我用計算機檢查無誤,奇怪 (more…)

2016/06/14

正七邊形

Filed under: Fun — johnmayhk @ 12:07 上午
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如無必要都唔想拍片,超累的說:

(習題)從片中某些結果不難推出以下命題: (more…)

2016/03/21

用D證trigo

Filed under: Additional / Applied Mathematics,NSS — johnmayhk @ 11:13 上午
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某 M2 題…

Prove the following identity

\cos^2x+\cos^2(x+y)-2\cos y\cos x\cos(x+y)=\sin^2y.

試試"D吓佢"… (more…)

2015/10/11

正四面體,兩個夾角

Filed under: Fun — johnmayhk @ 9:10 下午
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1.一個玩具

早前入了些貨,其中一件:

正四面體困在籠中,

硬闖不能:

如何逃脫? (more…)

2015/10/07

三角題

Filed under: NSS — johnmayhk @ 2:58 下午
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Just come across a part of a core mathematics trigonometry problem today morning, I and my student used different ways to solve it, but actually, same results turn up:

johnmayhk-trigonometry

Given

AC=b,

CB=a, where a > b

\angle CAB=\theta < 90^o,

find c in terms of a,b,\theta.

(Note: this is an ‘A.S.S.’ given, but the triangle can be uniquely determined.)

Method 1 (more…)

2015/08/03

小學三角題

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 4:34 下午
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Whatsapp 傳來同事阿仔的暑期功課:在釘板上圍出一個等邊三角形

johnmayhk-equilateral-triangle

我心諗:點解要咁樣玩啲小學生(及其家長)? (more…)

2015/05/20

幾何老題

Filed under: Fun — johnmayhk @ 1:40 下午
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那天在校開會途中,傳來舊同學的 whatsapp,原來是一個幾何問題:

johnmayhk-concurrent-chords
x 的大小。(圖有誤,\angle ACD=30^o,非 60^o

那應是經典題,以前寫文時引過這例,見: (more…)

2015/05/19

某中三三角學題

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 11:47 上午
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其一

中三數,某題:

Given that \tan \theta=\sqrt{2}, where \theta is an acute angle. Using trigonometric identities, find the value of \sin^2\theta - \cos^2\theta.

用圖,輕易把 \tan \theta=\sqrt{2} 表之曰

johnmayhk-f3trigonometry1

立即得 (more…)

2014/12/19

某些M2題

Filed under: NSS — johnmayhk @ 9:30 下午
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早前匆匆取書商的題給學生練習。或許書商出版時也是匆匆而往,有些問題可能有些問題:

Q.1
johnmayhk-fail-3

解題時見 \sin^4\theta-\cos^4\theta,我第一時間問:\sin\theta\cos\theta 哪個較大?

當寫出 sum of roots:

\sin\theta+\cos\theta=\frac{7}{3} 時,同學已指出:冇可能!因為 \sin\theta\cos\theta 的最大值不過是 1。

此題報廢。

Q.2
johnmayhk-fail-1

解題如下: (more…)

2014/01/07

Core Math 小題

Filed under: NSS — johnmayhk @ 2:34 下午
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三角形邊長 a,b,c。

a^2+b^2=c^2,即該三角形是直角三角形。

若三角其中一角是鈍角(obtuse angle),而最長一邊邊長為 c,那麼

A. a^2+b^2 > c^2 還是
B. a^2+b^2 < c^2

(停一停,想一想)

(more…)

2012/11/19

[FW] 國小三角數學題爭議!

Filed under: Fun,Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 12:47 下午
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貼貼舊聞:【中天】5/16 國小三角數學題爭議!考倒大人、數學老師

如果小學老師已教並小學生已學三角學(trigonometry)之類, (more…)

2010/11/25

弧度

Filed under: NSS — johnmayhk @ 12:40 下午
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教科書記弧長公式

s = r\theta\theta is measured in radian)

之後推論一個結果

180^o = \pi radian

當中涉及一條式

\pi r = r \theta

描述下圖的情況

(more…)

2010/05/22

兩個無言證明

早前網友電郵分享了一個關於海倫公式(Heron’s formula)的「無言證明」(Proof without words)。無言證明者:一看就明,無須多言。

利用兩個引理,得出公式。

引理一K = rs (more…)

2010/05/13

Trivial sharing on trigonometry

Filed under: Additional / Applied Mathematics,mathematics,NSS — johnmayhk @ 7:33 上午
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What’s wrong with the following steps?

\sin\theta < 0

\Rightarrow \theta lies in the 3rd or 4th quadrant (more…)

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