Quod Erat Demonstrandum

2017/03/20

無聊 bonus

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 9:55 上午
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隨便出所謂 bonus 題:

Solve the following equations for real x.

1. 1+9^x+25^x=3^x+5^x+15^x

2. 5^{x+1}+5(2^x)=3(10^x)+25^x+4^x+5

中四同學可以試試。

其實 (more…)

2017/03/19

盛水水深

Filed under: Additional / Applied Mathematics,HKCEE,NSS — johnmayhk @ 12:43 下午
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常見初中數學題:

圓錐容器高 H 單位。容器內盛水,垂直倒置時水深 h 單位(Fig. 1),把其倒轉平放水平面後(Fig.2),求水深。

利用相似形體積比等於對應邊比之立方,不難得 k=\sqrt[3]{H^3-h^3},故水深為

(H-\sqrt[3]{H^3-h^3}) 單位。

早前同事出題:如果容器是橢圓體,同樣問題如何解決?

具體一點,參考下圖

容器形狀是橢圓 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 環繞 y-軸轉出來的旋轉體。

容器內盛水,水深 h 單位(Fig. 3)把容器沿 O 轉 90 度(Fig.4)(注:其實是沿 z-軸),求水深。 (more…)

2017/03/17

不排在一起

Filed under: NSS — johnmayhk @ 1:58 下午
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講兩題。

1. m 男 n 女排 1 行

(a) 若女不排在一起,排列數是?

先放置 m 男,共 m! 種排列。

男旁留一空位放置女,共 (m+1) 空位。

情況 1: (more…)

2017/01/11

三次方程某解法

Filed under: NSS — johnmayhk @ 6:32 下午
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如何解三次方程(cubic equation)

x^3-26x-5=0 ?

這裡有個解法:

x^3-26x-5=0

\Rightarrow -x(5)^2-(5)+x^3-x=0

變成一條 quadratic equation in ‘5’,於是

\Rightarrow 5=\frac{1\pm \sqrt{1-4(-x)(x^3-x)}}{2(-x)}

\Rightarrow -10x-1=\pm\sqrt{(2x^2-1)^2}

所以 (more…)

2017/01/10

某經典幾何題

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 5:03 下午
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三個大小不同的圓,沒有一個完全在另一個之內。對於每兩個圓,可畫出兩條公共外切線(common external tangents),及其交點,即下圖的 P,Q,R。

問: P,Q,R 共線(collinear)嗎?同學可以先探究一下(輕輕地改變 A 和 X 的位置吧~):

https://www.geogebra.org/m/WPk7sZUJ

(若有興趣知如何構作兩圓的外公共切線,可看文末的附錄*)

第一次接觸此題,大概在 1995 年,看以下數普書: (more…)

2016/12/18

因式分解與畢氏數組

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 3:40 下午
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有些二次式 x^2+bx+c,可以(在整數環上)因式分解為

x^2+bx+c\equiv (x+p)(x+q)

但一般來說,以下四式

x^2+bx+c
x^2-bx+c
x^2+bx-c
x^2-bx-c

未必全部可以。

當然有些情況可以,例如

x^2+5x+6\equiv (x+2)(x+3)
x^2-5x+6\equiv (x-2)(x-3)
x^2+5x-6\equiv (x-1)(x+6)
x^2-5x-6\equiv (x+1)(x-6)

原來 (more…)

2016/12/11

小心出題

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 11:18 下午
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早前給學生做某高中數學教科書的某習題:

因為課題涉及 cosine law,於是多數學生解 (a),曰:

AB=\sqrt{30^2+45^2-2(30)(45)\cos(60^o-40^o)}=19.7 m

但有少部份學生,以初中手法處理,考慮兩個直角三角形,得

AB=45\cos 40^o-30\cos 60^o=19.5 m

我用計算機檢查無誤,奇怪 (more…)

2016/10/30

old trick is so…

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 1:02 下午
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偶見網上某題:

\displaystyle x=\frac{\sqrt{km+n}+\sqrt{km-n}}{\sqrt{km+n}-\sqrt{km-n}}  (n\neq 0),求 nx^2-2kmx+n 的值。

偶見網民解之:

\displaystyle x=\frac{\sqrt{km+n}+\sqrt{km-n}}{\sqrt{km+n}-\sqrt{km-n}}

\Rightarrow \displaystyle \frac{x+1}{x-1}=\frac{\sqrt{km+n}}{\sqrt{km-n}} ………. (1) (more…)

2016/08/29

講兩題

Filed under: Junior Form Mathematics,NSS — johnmayhk @ 5:02 下午
Tags: , ,


seize-the-moment-geek-green

對,seize the moment,抓緊此際講兩題。

(注:上圖式子是 k^{th} moment 的定義。特別地,當 k=2,它就是方差 variance。)

(一)

修物理的同學一定學過透鏡公式(lens formula)

\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v} (more…)

2016/08/08

點解2

Filed under: Fun,mathematics — johnmayhk @ 11:12 下午
Tags: , ,

1+2+3+\dots +(n-1)+n+(n-1)+\dots +3+2+1=?

簡單

\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n-1)n}{2}=n^2

是也。

如果變成中四 M2 的 MI 習題:

利用數學歸納法證明,對於任何正整數 n

1+2+3+\dots +(n-1)+n+(n-1)+\dots +3+2+1=n^2

不知同學會否覺得不太容易? (more…)

2016/07/26

相同特徵值及凱萊哈密頓

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 10:29 上午
Tags: , ,

免插聲明:本文只是中學程度的討論,高手見諒。

續上個 post:

https://johnmayhk.wordpress.com/2016/07/22/flf-and-matrix/

M=\left(\begin{array}{rcl}a& b\\c& d\\\end{array}\right) 的特徵方程為 \det(M-\lambda I)=0,即

\lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc)=0

留意上式係數,

(a+d) 就是矩陣 M 的跡(trace),即對角元的和,也是特徵值的和(sum of roots);而

(ad-bc) 就是矩陣 M 的行列式(determinant),也是特徵值的積(product of roots)。

有時出題目,想弄一個 2×2 矩陣,其特徵值是(比方說)2 和 8,可以先寫 (more…)

2016/07/22

有理函數和矩陣

Filed under: NSS,Pure Mathematics,Teaching,University Mathematics — johnmayhk @ 12:06 下午
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Core mathematics 介紹過 rational function(有理函數),即形如 \frac{P(x)}{Q(x)} 者(其中 P(x)Q(x) 皆為多項式)。

P(x)Q(x) 皆為線性(linear),即形如 \frac{ax+b}{cx+d} 者,稱之曰 fractional linear function(FLF)。

中四教 function(函數)時,偶談下例,設 f(x)=\frac{ax+b}{cx+d},求 f(f(x))

解之曰

f(f(x))

=\frac{af(x)+b}{cf(x)+d}

=\frac{a\times \frac{ax+b}{cx+d}+b}{c\times \frac{ax+b}{cx+d}+d}

=\frac{(a^2+bc)x+b(a+d)}{c(a+d)x+bc+d^2}

仍舊是 FLF。

現看看 2×2 矩陣 (more…)

2016/07/18

舊物

Filed under: Fun,School Activities — johnmayhk @ 11:23 上午
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(假)暑假開始,點列一下大考期間及之後,中學授課員的一般工作:

1.改卷
2.對卷
3.盤點記錄科組及非教務組物資
4.入分
5.出初步成績單
6.開升班會
7.中一至中五試後活動(校內及校外,兩星期)
8.科組及非教學各組檢討會財政預算來年計劃
9.輸入評語及其他
10.出成績表
11.通知家長留班或轉校
12.小六升中叩門位
13.中一註冊
14.中一迎新
15.中一學科測驗(HKAT)
16.最後一次職員會
17.中六放榜講座(一個為學生,一個為家長)
18.中六放榜前BBQ
19.中六放榜
20.暑假正式開始 (more…)

2016/07/10

論商餘(三)

Filed under: mathematics,NSS,Teaching — johnmayhk @ 9:45 下午
Tags: , ,

一. 帶餘除法

(a) 多項式與數字

聞說以下是某校的試題:

一看,個心離一離。 (more…)

2016/06/16

平方和和積

Filed under: Fun — johnmayhk @ 2:58 下午
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n_1,n_2,n_3,\dots

為正整數,則

(1) n_1^2+n_2^2=n_1n_2 是不可能的。
(2) 若 n_1^2+n_2^2+n_3^2=n_1n_2n_3,則 n_1n_2n_3 可被 27 整除。 (more…)

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