Quod Erat Demonstrandum

2018/04/17

互斥與獨立

Filed under: NSS — johnmayhk @ 12:37 下午
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免插聲明:純粹記錄某堂的片段,高手見諒。

今天上中五數學堂頗開心,可以和同學多點交流。剛開始談條件概率(conditional probability),有同學看到兩個分開的圈圈代表的事件:

問它們是彼此獨立的事件(independent events)嗎?

因為從圖看來,兩件事似乎不會影響對方。

這看法似乎頗合理:兩個東西分開,它們就冇影響,冇關。可是,數學上談獨立,另有所指; (more…)

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2018/03/21

某求導題

Filed under: Additional / Applied Mathematics,NSS — johnmayhk @ 3:29 下午
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早前中四測驗某題:

If \displaystyle \sqrt{x^3+y^3}=6(xy+1), find \displaystyle \frac{dy}{dx} at (1,-1).

建議答案如下:兩邊取平方

\displaystyle x^3+y^3=36(xy+1)^2

\displaystyle \Rightarrow \frac{d}{dx}(x^3+y^3)=\frac{d}{dx}36(xy+1)^2

從而得

\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{24xy^2+24y-x^2}{y^2-24x^2y-24x}

所以,

\displaystyle \frac{dy}{dx}|_{(1,-1)}=-1

但有學生給出以下解: (more…)

2018/03/14

黃金比某級數

Filed under: Fun,mathematics,NSS — johnmayhk @ 11:11 上午
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早前見某個和黃金比(Golden ratio)有關的級數(series):

\displaystyle \Phi=\frac{1}{\Phi}+\frac{1}{\Phi^2}+\frac{1}{\Phi^3}+\dots

其中

\displaystyle \Phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}

乃黃金比也。

高中同學當然可以等比級數和(sum of an infinite geometric series)秒之,這裡介紹一個所謂無言證明。

如果 \Phi 是黃金比,即以下長方形

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2018/03/05

度數弧度微積分

Filed under: Additional / Applied Mathematics,NSS — johnmayhk @ 12:10 下午
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(免插聲明:本篇頗無聊,高手見諒)

請問

\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x at x=0^o

是多少?

M2 學生應知

\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x=\cos x

代入 x=0^o,得

\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x=\cos 0^o=1

完。

但 \displaystyle \frac{d}{dx}\sin x=\cos x 是基於考慮 x 是以弧度(radian)量度下的產物,若題目的 x 是以度數(degree)量度如何? (more…)

2018/02/22

懷古-開方2

Filed under: Fun,mathematics — johnmayhk @ 6:08 下午
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公元前 8 世紀,古印度數學家 Baudhayana 給出以下結果:

\displaystyle \sqrt{2} \simeq 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\times 4}-\frac{1}{3\times 4\times 34}

左邊約為 1.41421356237…

右邊計出 1.41421568627…,可見準確度達小數點後 5 位。

古人如何得出結果?

有人以所謂幾何方法解之。考慮兩個面積皆為 1 的正方形:

想像把其中一個切出一些長方形 (more…)

2018/01/23

某類三角恆等式記法

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 10:24 下午
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首先要知

\sin(-\theta)\equiv -\sin\theta
\cos(-\theta)\equiv \cos\theta
\tan(-\theta)\equiv -\tan\theta

之後,畫以下圖像:

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2017/12/25

等邊三角形

Filed under: Junior Form Mathematics,Pure Mathematics — johnmayhk @ 12:13 下午
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中學時遇上一些數題,特別有印象,這次談有關等邊三角形。

e.g. 1

下圖 \Delta AED\Delta ABC\Delta BFE 皆為等邊三角形

證明 CDEF 是平行四邊形。

只要看到當中的全等三角形,見下圖紅色者: (more…)

2017/11/14

as gs

Filed under: Additional / Applied Mathematics,mathematics,NSS — johnmayhk @ 12:29 上午
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同事擬 core mathematics 某統測題如下:

Derive the formula for the sum of first n terms of the following sequence in terms of a,b,d,r,n, where r \ne 1.

ab,(a+d)br,(a+2d)br^2,(a+3d)br^3,\dots

我班沒人得出答案。沒所謂,全卷 67 分,這必答題佔 6 分而已。

上述數列稱為 arithmetico-geometric sequence,我以前教 applied math 時就隨便稱它為 AGS。

在 applied math 的課程 (more…)

2017/11/13

平行四邊形的條件

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 12:38 下午
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課堂談以下題目:

即是,有一對角相等及一對邊平行,則可得平行四邊形。理由:兩對對角相等。

之後我問:若有一對角相等及一對邊相等(見下圖),也可得平行四邊形嗎?

可以?還是不可?同學,自行探究一下吧: (more…)

2017/11/08

作正五邊形

Filed under: Additional / Applied Mathematics,Fun,Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 10:49 上午
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中二課本仍有教授(在定圓上)構作正五邊形的方法,見下

網友問原理為何? (more…)

2017/10/28

一題多解

Filed under: Junior Form Mathematics,mathematics,NSS — johnmayhk @ 12:14 上午
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數學可以帶出其中一個教訓:解決問題的辦法並非單一。

(不過有多少學生解完題目,會如此神心尋求另外解法?面對極度規範化的考題,方法多數固定,對一些同學來說,莫說一題多解,更多時是找不到解法。)

例子一

不知初中同學你會有多少辦法處理下題:

證明:r^2=pq

方法一:相似三角 (more…)

2017/09/21

core math 某題:標準差

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 4:49 下午
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把某統計資料集合,比如

以點圖(Dot plot)表示如下:

我們可以找出這集的標準差(standard deviation),電腦代勞,見下:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=standard+deviation+of+1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,4,4,4,5

好了,現有兩組資料,分別以紅藍兩種顏色表示如下:

問:兩組資料集的標準差相等嗎? (more…)

2017/09/14

又因式分解

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 12:45 下午
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以前中二教的因式分解,今年放在中三才教,內容包括 cross method 和 sums and differences in cubes.

關於十字相乘法,十多年前的師訓已談過另一個方法,就是把中項裂開成兩項,再用 grouping 云云,以幫助成績稍遜的學生。可是利用計算機做因式分解的誘惑太大,我班有些中三仔,一早已用計算機了。

對於他們,唯有給一些 EQ(easy question)讓他們覺得上課有點意義。比如

Factorize 2x^2+7xy+9x+13y+6y^2-5.

其實這題是可以用 cross method 處理的。

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2017/08/15

畢氏定理日

Filed under: Fun — johnmayhk @ 12:04 上午

15/8/17,畢氏定理日,讓我紀念。錯過了之前的 17/8/15,下次是 16/12/20 吧。

利用邊長為 3-4-5 的直角三角形及其內圓,可得美麗結果:

\tan^{-1}1+\tan^{-1}2+\tan^{-1}3=180^0

無言如下
(more…)

2017/08/13

最小值

Filed under: Additional / Applied Mathematics,NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 6:19 下午

教中三不等式時,跟同學討論過:

已知

x\ge 3

我們不能說

x 的最小值是 3,

除非 x 真的可以等於 3。

舉一例。

(more…)

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