一個關於 Rolle’s Thereom 的應用

題目

當 有 n 個實根（real roots），其中常數 ()，證明 有 n 個實根。

為簡化，我把陳述「 恰好有 n 個實根（已計算重根）」表之曰「」

引理

對於 n 次實係數多項式 ，若 ，則，對任意實數 ，。

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恆善致知

長面怪魔

全力進攻

學渣談希臘文01

作為學渣，只想記錄一些關於學習通用希臘文（Koine Greek）的皮毛東西供自己參考。

用 Mounce 的書的讀者會見過生字之後出現一些符號，例如 angel，希臘文是

ἄγγελος, –ου, ὁ

之後有 –ου 及 ὁ。

首先，生字表中的字都是主格的（nominative）。而 ὁ 表示這字是陽性的（masculine），而 –ου 就是這字的屬格/所有格（genitive case）的變化情況，即 ἄγγελος 的所有格是 ἄγγελου。又例如 writing，希臘文是

γραφή, –ῆς, ἡ

ἡ 表示這字是陰性的（feminine），而 –ῆς 代表 γραφή 的所有格是 γραφής。

除了陽性、陰性，還有中性。例如 Sabbath（安息日），希臘文是

σάββατον, –ου, τό

τό 表示這字是中性的（neuter），而 –ου 代表 σάββατον 的所有格是 σάββατου。

其實 ὁ, ἡ, τό 都是冠詞（article），都是 the 的意思，但三者分別是陽性、陰性和中性。而有些字都可以有三種性別，例如 alone, only（單獨），希臘文是

μόνος, –η, –ον

（易記，英文 mono 也有類似意思）所以 alone 的主格，陽性是 μόνος，陰性是 μόνη，中性是 μόνον。

還有以下情況，例如 eternal，希臘文是

αἰώνιος, –ον

代表甚麼？原來這是「3-3 型變格」，即是陽性和陰性的主格都是 αἰώνιος，中性即是 αἰώνιον。

某題數

之前在 threads 發了下題：參考下圖，兩小圓內切於大圓，兩切點和一交點共線（如圖）證明最大圓半徑是兩小圓半徑總和。現在寫答案：

稱大圓為 R，半徑 r；左右小圓分別稱為 M 和 N，半徑分別為 m 及 n。

某天比較不同 AI 的回答

2026.08.05，把同一問題查問 Gemini、Grok 和 DeepSeek，比較它們的回答，這裡純粹記錄一下。

1.有沒有香港現屆立法會議員為宏福苑災民和死去的168條人命講過公道說話？

Gemini 答

大埔宏福苑五級大火造成168人罹難、多人受傷及大量居民流離失所，事件在立法會內外均引發了廣泛的討論與跟進。現屆立法會議員及政府官員在議會內外的表態與行動，主要涵蓋以下幾個維度：

重溫判別式

一、某種判別式

先擬一道中四 M2 題目。

設 。若 有二重根（double root），即 ，其中 是某多項式，且 ，

(a) 證明

…… (1)

(b) 用求導法（differentiation）證明

…… (2)

Delta = 8

設 f(x) = a(x-h)^2 + k，其中 a, h, k 為常數，a 非零。

設 V 是圖像 y = f(x) 的頂點（vertex），

T 是 V 在 x-軸 的垂足（foot of perpendicular），

D 是 f(x)＝0 的判別式（discriminant）。

那麼，D = 8 就是存在 y = f(x) 上兩點 S, U 使 STUV 為正方形的充要條件。

證明

某次退修後

2025.10.27 MON

耶穌和撒瑪馬亞婦人談道，當時耶穌坐「在井旁」（約四6，和合）原文是 ἐπὶ τῇ πηγῇ，當中的前置詞 ἐπὶ 可翻譯成「在…之上」，所以這裡可譯作「耶穌坐在井上」。雅各井樣子如下：

（圖片來源：https://alayluya.com/article/202193）

耶穌也真的可能坐在井「上」，對撒瑪馬亞婦人來說，耶穌是「阻住哂」。當然，耶穌「阻住」目的之一就是拯救那個社會「邊緣人」。她和主耶穌的相遇，使她嚐到生命的活水，從而勇敢地向多人作見證。因耶穌的說話，信的人就更多了。

某次讀經後

寫作日期：2023-08-23

某天讀到「一神，就是眾人的父，超乎眾人之上，貫乎眾人之中，也住在眾人之內。」（注：「眾人」有譯作「萬有」）¹ 我想像，既是「之上」、「貫通」又是「之中」的情況是如何發生？我先想像「萬有」被降到二維（比方說是平面 吧），神可被想像為高於二維的空間（，其中 ），於是祂在萬有「之上」（在高維），也能完全承托萬有（貫通 + 之中），因為平面包含在 之內。以上純粹用一些所謂數學語言來重述，對知識毫無增益，始終我不能完全理解同時是「之上」、「貫通」和「之中」是怎樣的（或者不單是指物理空間的關係），但我能接受。為何人身處的宇宙是三維？聞說物理學有其解釋，² 不知小說《三體》的宇宙觀有否參考那種理論。個人感覺三維宇宙是上帝的刻意設計：起碼對人理解高維度的「感覺」已經「完全足夠」。³ 人身處三維，他明白「身處二維者有其下並其上的維度」，於是當人類知道存在其下的維度（二維），自然可以「推論」其上的維度（四維）之可能存在，甚至可以想像更高的維度。「知道」有時是不能用五感去「體會」，只能用「比喻」，比方說，在四維空間可以找到四條直線，它們都是彼此「垂直」（orthogonal）的。當「比喻」也不能理解，唯有靠「信心」去接受。對於有限的、形而下的人類，我們「知道」一些東西是人類「無法知道」的，正如我無法教導螞蟻學懂微積分。神學家也會用一些比喻讓人「理解」一些事情是「無法理解」的。巴特的《羅馬書釋經》曾寫了

In the Resurrection the new world of the Holy Spirit touches the old world of the flesh, but touches it as a tangent touches a circle, that is, without touching it. ⁴

（在復活中，聖靈的新世界觸及肉體的舊世界，但這觸碰猶如切線觸及圓周——即不與其接觸。）當然，中學數學告訴我們，切線真的切圓於一點，不會 without touching 的。但重點是要我們「感受」那復活事件，正如在線段中存在無限點卻只是那單一獨特的一個切點，切到那個位置的機會率是零，卻是有可能發生的歷史事件。形而下的人類必須透過時間和空間獲取知識。宇宙是幾何性（空間、形狀、大小、位置及其關係）的，神把純粹幾何的直觀安置人心裡，以致不用經驗也「知道」（比方說）不會存在有角的圓形。

注腳

1 聖經《以弗所書》四章6節，和合本。「眾人」有譯作「萬有」，頭三個「眾人」原文是 πάντων（adjective, genitive, plural, masculine），最後一個是 πᾶσιν（adjective, dative, plural, masculine），英譯 all。句子描述到上帝和萬有的「位置」關係，用了三個前置詞：「之上」(ἐπὶ)、「貫乎」(διὰ) 和「之中」(ἐν)。

2 //弦理論所預測的9維空間的確可以演變成現今我們所生活的這個三維空間// https://pansci.asia/archives/10700

3 … 神一切所作的 … 無所增添、無所減少（聖經傳道書三章14節）

4 巴特的《羅馬書釋經》的英文譯本網上版可見於

https://www.google.com.hk/books/edition/The_Epistle_to_the_Romans/dCEDzQhI4R4C?hl=zh-TW&gbpv=1&dq=Barth+Roman&printsec=frontcover 引文見於30 頁。

四邊等長兼有四直角的圖形一定是正方形嗎？

「看哪，我要做一件新事；現今要顯明出來，你們豈不知道它（原文用陰性）嗎？我必在曠野開道路，在沙漠（開）江河。」（聖經《以賽亞書》四十三章19節，直譯）

AI 能否做「新」事，有沒有「創意」？一個平面圖形，它有 4 條邊，長度相等，且圖形出現 4 個直角，它是甚麼？一定是正方形嗎？叫 AI（Grok）畫，它畫了正方形：

無聊談三角形數

1. 聖經中的三角形數

1，3，6，10，⋯⋯ ，三角形數也。聖經中也有不少三角形數，當中出現在約翰福音的 153，筆者覺得是蠻有趣的：

「西門‧彼得就上船，把網拉到岸上，網裏滿了大魚，共一百五十三條；雖然魚這樣多，網卻沒有破。」（《約翰福音》廿一章11節，和修）

之前上新約研究，老師也說過。¹ 153 是第 17 個三角形數，即 。也是第 9 個六邊形數。拉格朗日四平方定理告訴我們，任何自然數皆可寫成 4 個平方數的和，但不一定能寫成 2 個平方數的和，但 153 可以，見 。153 也是水仙花數，即 。

尼拉坎塔級數

上圖是高中同學接觸過帕斯卡三角形（Pascal’s triangle），原來我們可以運用它計算圓周率。留意上圖黃色強調的數字，我們有

證明

阿里斯塔克不等式

之前網民討論《鬼滅》，背景是江戶時代的猗窩座（あかざ）說了「細胞」一詞，似乎不符合他身處的時代：「細胞的概念是 1665 年由英國學者胡克提出，日本則要到明治時代才開始正式引進西洋生物學」¹ 或者「鬼」獲取知識不受時間限制？無論如何，看動漫除了娛樂，也可讓人長點知識，認真一點也是不錯。雖然歷史考究不易，洗腦卻容易。

（圖：《鬼滅之刃》第一季第8集，那句是鬼舞辻無慘說的。）

記某次外遊

        記得某堂「新約研究」課，潘老師感觸地和大家一起為土耳其禱告，當時是 2023 年。當年 2 月 6 日，土耳其南部接壤敘利亞邊境地區，發生 7.8 級強烈地震，造成59259人死亡、297人失蹤、121704人受傷。¹ 為何老師特別關心土耳其？原因之一，大抵是當時教授保羅書信，《以弗所書》² 就是其中一卷；而以弗所古城，就是位於今天的土耳其西南岸瀕愛琴海之位置。

        今年8月19至27日，妻兒和我跟團遊土耳其。主要因為能夠一家外遊的機會將愈來愈少，趁大家還未正式忙碌的日子出發，這 9 天應是不錯的選擇。另外，雖然沒有機會去以色列，但遊土耳其也不錯，因為當地也有聖經談過的一些地方。

功課22

作者：吳偉昌（John）

主題：從 Oliver O’Donovan 的幾個關注原則看人工智能

1. 引言

        本文嘗試基於基督教倫理學家 Oliver O’Donovan 有關創造秩序、分享相通及權威角色的角度簡略回應人工智能引發的道德議題。

2. 人工智能的現況

        人工智能近年來的發展猶如「寒武紀大爆發」，^[1] 大語言模型（LLM）如 ChatGPT 和 Gemini 等橫空出世，憑藉強大的語言理解、內容生成及推理能力，正在改變社會運作方式。

        對於普羅大眾，LLM 已成為隨手可用的「超級助手」，不論撰寫電郵、翻譯文章、輔助學習或規劃行程，都帶來前所未有的方便。在「後抄襲時代」，^[2] 人類不再只是資訊的消費者，而是技術的合作夥伴，共同創造知識，影響我們的創作、學習、溝通及互動方式。AI 對話式搜尋顛覆了傳統搜索引擎，讓用戶更容易獲取精準答案（上月，Google 搜尋也加入了 AI 模式 ^[3]）。然而，背後隱藏的挑戰亦不容忽視——資訊氾濫與「幻覺」問題 ^[4] 確實考驗著用戶的甄別能力；深度偽造技術（Deepfake）令視聽內容真假難辨，進一步加劇信任危機；而人類過度依賴 AI，可能影響批判性思維及創造力。依賴 AI 提供的「情緒價值」，福禍未料。