Quod Erat Demonstrandum

2018/02/22

懷古-開方2

Filed under: Fun,mathematics — johnmayhk @ 6:08 下午
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公元前 8 世紀,古印度數學家 Baudhayana 給出以下結果:

\displaystyle \sqrt{2} \simeq 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\times 4}-\frac{1}{3\times 4\times 34}

左邊約為 1.41421356237…

右邊計出 1.41421568627…,可見準確度達小數點後 5 位。

古人如何得出結果?

有人以所謂幾何方法解之。考慮兩個面積皆為 1 的正方形:

想像把其中一個切出一些長方形 (more…)

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2018/01/23

某類三角恆等式記法

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 10:24 下午
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首先要知

\sin(-\theta)\equiv -\sin\theta
\cos(-\theta)\equiv \cos\theta
\tan(-\theta)\equiv -\tan\theta

之後,畫以下圖像:

(more…)

2017/12/25

等邊三角形

Filed under: Junior Form Mathematics,Pure Mathematics — johnmayhk @ 12:13 下午
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中學時遇上一些數題,特別有印象,這次談有關等邊三角形。

e.g. 1

下圖 \Delta AED\Delta ABC\Delta BFE 皆為等邊三角形

證明 CDEF 是平行四邊形。

只要看到當中的全等三角形,見下圖紅色者: (more…)

2017/11/14

as gs

Filed under: Additional / Applied Mathematics,mathematics,NSS — johnmayhk @ 12:29 上午
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同事擬 core mathematics 某統測題如下:

Derive the formula for the sum of first n terms of the following sequence in terms of a,b,d,r,n, where r \ne 1.

ab,(a+d)br,(a+2d)br^2,(a+3d)br^3,\dots

我班沒人得出答案。沒所謂,全卷 67 分,這必答題佔 6 分而已。

上述數列稱為 arithmetico-geometric sequence,我以前教 applied math 時就隨便稱它為 AGS。

在 applied math 的課程 (more…)

2017/11/13

平行四邊形的條件

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 12:38 下午
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課堂談以下題目:

即是,有一對角相等及一對邊平行,則可得平行四邊形。理由:兩對對角相等。

之後我問:若有一對角相等及一對邊相等(見下圖),也可得平行四邊形嗎?

可以?還是不可?同學,自行探究一下吧: (more…)

2017/11/08

作正五邊形

Filed under: Additional / Applied Mathematics,Fun,Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 10:49 上午
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中二課本仍有教授(在定圓上)構作正五邊形的方法,見下

網友問原理為何? (more…)

2017/10/28

一題多解

Filed under: Junior Form Mathematics,mathematics,NSS — johnmayhk @ 12:14 上午
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數學可以帶出其中一個教訓:解決問題的辦法並非單一。

(不過有多少學生解完題目,會如此神心尋求另外解法?面對極度規範化的考題,方法多數固定,對一些同學來說,莫說一題多解,更多時是找不到解法。)

例子一

不知初中同學你會有多少辦法處理下題:

證明:r^2=pq

方法一:相似三角 (more…)

2017/09/21

core math 某題:標準差

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 4:49 下午
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把某統計資料集合,比如

以點圖(Dot plot)表示如下:

我們可以找出這集的標準差(standard deviation),電腦代勞,見下:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=standard+deviation+of+1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,4,4,4,5

好了,現有兩組資料,分別以紅藍兩種顏色表示如下:

問:兩組資料集的標準差相等嗎? (more…)

2017/09/14

又因式分解

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 12:45 下午
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以前中二教的因式分解,今年放在中三才教,內容包括 cross method 和 sums and differences in cubes.

關於十字相乘法,十多年前的師訓已談過另一個方法,就是把中項裂開成兩項,再用 grouping 云云,以幫助成績稍遜的學生。可是利用計算機做因式分解的誘惑太大,我班有些中三仔,一早已用計算機了。

對於他們,唯有給一些 EQ(easy question)讓他們覺得上課有點意義。比如

Factorize 2x^2+7xy+9x+13y+6y^2-5.

其實這題是可以用 cross method 處理的。

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2017/08/15

畢氏定理日

Filed under: Fun — johnmayhk @ 12:04 上午

15/8/17,畢氏定理日,讓我紀念。錯過了之前的 17/8/15,下次是 16/12/20 吧。

利用邊長為 3-4-5 的直角三角形及其內圓,可得美麗結果:

\tan^{-1}1+\tan^{-1}2+\tan^{-1}3=180^0

無言如下
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2017/08/13

最小值

Filed under: Additional / Applied Mathematics,NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 6:19 下午

教中三不等式時,跟同學討論過:

已知

x\ge 3

我們不能說

x 的最小值是 3,

除非 x 真的可以等於 3。

舉一例。

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2017/08/12

重積求面積

Filed under: mathematics,NSS,University Mathematics — johnmayhk @ 6:10 下午
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1.某中四題:

求直線 x+y=1, x+y=5, x-2y=-2x-2y=4 圍出來的平行四邊形之面積。

可用 (more…)

2017/06/29

4

Filed under: Fun — johnmayhk @ 12:03 下午

剛才偷偷在教員室想出以下式子:

777=\sqrt{2}\displaystyle \sum_{k=1}^{777}k^2\cos(45^o+(k-2)90^o)

如何得?

中二同學,首先簡化下式看看:

k^2-(k+1)^2-(k+2)^2+(k+3)^2

如果懶唔想做,可以: (more…)

2017/06/23

實數問題複數解決

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 3:43 下午
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幾個月前的中學數學科諮詢文件見 M1,M2 外的 Further Mathematics 內容,重遇會考附加數學一些內容:

運用當中一個特性 z\overline{z}=|z|^2,輕易得出下式:

(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2

式子在說:平方和的積,仍是平方和。

現在的中學生,大部分不會知道甚麼是 (more…)

2017/06/21

兩題二次方程

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 6:28 下午
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1.

早前學生問了道不錯的題:

Refer to the figure below.

If \alpha and \beta are x-coordinates of P and Q respectively such that \alpha^2+\beta^2=13, find the value(s) of m.

這是基本題目,同學應會解之如下:

-x^2+3x-2=mx-8
x^2+(m-3)x-6=0 (more…)

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