Quod Erat Demonstrandum

2016/08/29

講兩題

Filed under: Junior Form Mathematics,NSS — johnmayhk @ 5:02 下午
Tags: , ,


seize-the-moment-geek-green

對,seize the moment,抓緊此際講兩題。

(注:上圖式子是 k^{th} moment 的定義。特別地,當 k=2,它就是方差 variance。)

(一)

修物理的同學一定學過透鏡公式(lens formula)

\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v} (more…)

2016/08/08

點解2

Filed under: Fun,mathematics — johnmayhk @ 11:12 下午
Tags: , ,

1+2+3+\dots +(n-1)+n+(n-1)+\dots +3+2+1=?

簡單

\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n-1)n}{2}=n^2

是也。

如果變成中四 M2 的 MI 習題:

利用數學歸納法證明,對於任何正整數 n

1+2+3+\dots +(n-1)+n+(n-1)+\dots +3+2+1=n^2

不知同學會否覺得不太容易? (more…)

2016/07/26

相同特徵值及凱萊哈密頓

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 10:29 上午
Tags: , ,

免插聲明:本文只是中學程度的討論,高手見諒。

續上個 post:

https://johnmayhk.wordpress.com/2016/07/22/flf-and-matrix/

M=\left(\begin{array}{rcl}a& b\\c& d\\\end{array}\right) 的特徵方程為 \det(M-\lambda I)=0,即

\lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc)=0

留意上式係數,

(a+d) 就是矩陣 M 的跡(trace),即對角元的和,也是特徵值的和(sum of roots);而

(ad-bc) 就是矩陣 M 的行列式(determinant),也是特徵值的積(product of roots)。

有時出題目,想弄一個 2×2 矩陣,其特徵值是(比方說)2 和 8,可以先寫 (more…)

2016/07/22

有理函數和矩陣

Filed under: NSS,Pure Mathematics,Teaching,University Mathematics — johnmayhk @ 12:06 下午
Tags:

Core mathematics 介紹過 rational function(有理函數),即形如 \frac{P(x)}{Q(x)} 者(其中 P(x)Q(x) 皆為多項式)。

P(x)Q(x) 皆為線性(linear),即形如 \frac{ax+b}{cx+d} 者,稱之曰 fractional linear function(FLF)。

中四教 function(函數)時,偶談下例,設 f(x)=\frac{ax+b}{cx+d},求 f(f(x))

解之曰

f(f(x))

=\frac{af(x)+b}{cf(x)+d}

=\frac{a\times \frac{ax+b}{cx+d}+b}{c\times \frac{ax+b}{cx+d}+d}

=\frac{(a^2+bc)x+b(a+d)}{c(a+d)x+bc+d^2}

仍舊是 FLF。

現看看 2×2 矩陣 (more…)

2016/07/18

舊物

Filed under: Fun,School Activities — johnmayhk @ 11:23 上午
Tags:

(假)暑假開始,點列一下大考期間及之後,中學授課員的一般工作:

1.改卷
2.對卷
3.盤點記錄科組及非教務組物資
4.入分
5.出初步成績單
6.開升班會
7.中一至中五試後活動(校內及校外,兩星期)
8.科組及非教學各組檢討會財政預算來年計劃
9.輸入評語及其他
10.出成績表
11.通知家長留班或轉校
12.小六升中叩門位
13.中一註冊
14.中一迎新
15.中一學科測驗(HKAT)
16.最後一次職員會
17.中六放榜講座(一個為學生,一個為家長)
18.中六放榜前BBQ
19.中六放榜
20.暑假正式開始 (more…)

2016/07/10

論商餘(三)

Filed under: mathematics,NSS,Teaching — johnmayhk @ 9:45 下午
Tags: , ,

一. 帶餘除法

(a) 多項式與數字

聞說以下是某校的試題:

一看,個心離一離。 (more…)

2016/06/16

平方和和積

Filed under: Fun — johnmayhk @ 2:58 下午
Tags:

n_1,n_2,n_3,\dots

為正整數,則

(1) n_1^2+n_2^2=n_1n_2 是不可能的。
(2) 若 n_1^2+n_2^2+n_3^2=n_1n_2n_3,則 n_1n_2n_3 可被 27 整除。 (more…)

2016/06/14

正七邊形

Filed under: Fun — johnmayhk @ 12:07 上午
Tags: , ,

如無必要都唔想拍片,超累的說:

(習題)從片中某些結果不難推出以下命題: (more…)

2016/06/13

變易圖式

Filed under: Teaching — johnmayhk @ 2:44 下午
Tags:

在教大上了一兩課節「變易理論」(variation theory),當中 V3 是關於教學設計的主導原則「變易圖式」(pattern of variation),希望透過四種辨識體驗:對比(contrast)﹑區分(separation)﹑類比(generalization)和融合(fusion)以刺激學生對新知識或技巧之覺知。

比如要學「紅色」這個概念,可呈現紅色及非紅色的東西,此之謂「對比」:

johnmayhk-v3-1-contrast (more…)

2016/06/09

正三角

Filed under: Fun — johnmayhk @ 11:34 上午
Tags:

答網友

其他方法,見: (more…)

2016/06/06

和扇形有關的某積分

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 12:27 下午
Tags: , ,

以積分求面積,基本概念也。

故不用真正去計算,只要明白

\displaystyle \int^1_0\sqrt{1-x^2}dx

代表四分一個單位圓的面積,立即知

\displaystyle \int^1_0\sqrt{1-x^2}dx=\frac{\pi}{4}

改變積分上限為 t,M2 同學也懂計算

\displaystyle \int_0^t\sqrt{1-x^2}dx (其中 0 < t < 1

x=\sin\theta 又或用部分積分吧。但以圖示之,求上述積分,即是求下圖著色部分面積:

johnmayhk-intefrate-square-root-of-one-minus-x-square (more…)

2016/05/15

和費波那契數列有關的一個遊戲

Filed under: Fun,Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 1:39 上午

講開費波那契數列,多談一例。

上次介紹過 nim 這個古舊遊戲,見下:

https://johnmayhk.wordpress.com/2013/06/18/just-a-game/

介紹返,手機 apps 免費玩,搜尋 "nim" 便可(但現世云云手機遊戲,還有小朋友會下載這個嗎?):

johnmayhk-nim-apps

今次把這個 2 人遊戲,略改規則如下:開始時有 n 個包子。第一個玩家至少取一個,但不能全取。之後輪流取包,規則是至少取一個包,也可取任何數目的包,只要取包數目不超過對手之前取包數目的兩倍。取最後一個包者勝。

比如,n = 15,甲乙對賽,甲先取。

甲取 2 個(餘 13 個)
乙不能取多於 4 個,乙取 4 個(餘 9 個)
甲不能取多於 8 個,甲取 1 個(餘 8 個)
乙不能取多於 2 個,乙取 1 個(餘 7 個)
甲不能取多於 2 個,甲取 2 個(餘 5 個)
乙不能取多於 4 個,乙取 3 個(餘 2 個)
甲不能取多於 6 個,甲取 2 個(餘 0 個)
甲勝。

原來如果 n 不是費波那契數,甲有必勝法;但如果 n 是費波那契數,則乙有必勝法。 (more…)

2016/05/11

[ViuTV] 《走進東。西教室》

Filed under: Fun,Report — johnmayhk @ 9:13 下午
Tags:

來自 ViuTV 節目《經緯線》有關教育的紀錄短片,追踪來自香港、芬蘭和上海的三個小學生,反映三地不同的教育制度及價值觀。誠意製作,值得推介:

《走進東。西教室》之《上學為甚麼?》
http://viu.tv/encore/now-report#now-reporte2jau-jun-dung-sai-gaau-sat-ji-seung-hok-wai-sam-moh

《走進東。西教室》之《芬蘭 學習快樂》
http://viu.tv/encore/now-report#now-reporte3jau-jun-dung-sai-gaau-sat-ji-fan-laan–hok-jaap-faai-lok

《走進東。西教室》之《沒有功課時》
http://viu.tv/encore/now-report#now-reporte4jau-jun-dung-sai-gaau-sat-ji-moot-yau-gung-foh-si

2016/05/10

費波那契鐘

Filed under: Fun,Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 11:56 下午
Tags:

已在 draft 一年,清理一下,這是有關費波那契鐘(The Fibonacci Clock)的介紹:

鐘面分別由邊長為 1,1,2,3,5 個單位的正方形組成,那些數字,一望而知是費波那契數列。費波那契鐘的設計是每 5 分鐘報報時,閱讀時間的方法可見下例:

fc01

紅色代表小時,綠色代表分鐘,藍色代表小時和分鐘都要算。

左圖:紅色有邊長為 1 及 5 的正方形,藍色有代表 3 的正方形,故此小時數是 1+5+3=9;綠色有代表 2 的正方形,故此分鐘數是 (2+3)x5=25;所以時間是 9:25。
中圖:紅色 0 個,藍色有代表 5 的正方形,故此小時數是 0+5=5;綠色有分別代表 1,3 的正方形,故此分鐘數是 (1+3+5)x5=45;所以時間是 5:45。
右圖:紅色有分別代表 2,5 的正方形,故此小時數是 2+5=7;綠色 0 個,故此分鐘數是 0;所以時間是 7:00。

費波那契鐘已是推出市場的產品,以下連結有詳細報導(有片): (more…)

2016/05/08

畢氏定理(無言)

Filed under: Fun,Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 9:08 下午

不知是否很多家長也不希望兒女看文字少圖片多的書本?但介紹返,有關 Proofs without words 的書是,雖然多圖少字,但其實很益智的。以下是來自 Leonardo da Vinci 的關於畢氏定理的無言證明,一圖證完,不需文字,盡在不言:

johnmayhk-proof-without-words-Pythagoras-1

看不明白可參考:

https://dl.dropboxusercontent.com/u/19150457/johnmayhk/johnmayhk-proof-without-words-Pythagoras.html

這不過是云云眾多證明中的一個,同學有興趣可找更多看看~

後一頁 »

在WordPress.com寫網誌.