Quod Erat Demonstrandum

2019/05/10

線長乘積

Filed under: Pure Mathematics — johnmayhk @ 11:52 下午
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考慮單位圓內接正多邊形,比如正方形

由某點(比方說 A)出發,連起其他頂點,得出 3 條線段,其長度分別為 2, \sqrt{2}, \sqrt{2},故乘積(product)為 4。

對於五邊形

由某點出發連起其他頂點,得出 4 條線段,那麼線段長度的乘積如何? (more…)

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2019/05/05

What’s wrong?

Filed under: Additional / Applied Mathematics,NSS — johnmayhk @ 7:05 下午
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Here is a basic level M2 question:

Given that \sqrt{xy}=7+2y, find \frac{dy}{dx} at (-\frac{1}{3},-3).

Student 1 gave

\frac{1}{2\sqrt{xy}}(x\frac{dy}{dx}+y)=2\frac{dy}{dx}

\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x}{y}}\frac{dy}{dx}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{x}}=2\frac{dy}{dx}

\frac{dy}{dx}=\sqrt{\frac{y}{x}}\cdot\frac{1}{4-\sqrt{\frac{x}{y}}}

Thus, at (-\frac{1}{3},-3),

\frac{dy}{dx}=\sqrt{\frac{-3}{-1/3}}\cdot\frac{1}{4-\sqrt{\frac{-1/3}{-3}}}=\frac{9}{11}

Student 2 gave (more…)

2019/02/01

帕斯卡三角某結果

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 5:35 下午
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早前貼了下圖

本文談如何推出上述結果。

對於函數 f(x)

f^{[1]}(x)=f(x)

f^{[2]}(x)=f(f(x)) (more…)

2018/11/20

費氏講

Filed under: Additional / Applied Mathematics,Fun,Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 6:36 下午
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N 年前往中一班代堂,必談「64 = 65」謎題:


(圖片來源:https://i.stack.imgur.com/fWdMd.jpg)

對以上現象,小朋友給了不少有創意但錯誤的解釋,如「冷縮熱漲」。

所謂 (more…)

2018/11/02

受保護的文章:SFXC F.3A Mathematics Assignment 11 (Web Task)

Filed under: Teaching — johnmayhk @ 9:19 上午

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2018/09/16

長周素

Filed under: Fun,Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 7:20 下午
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觀察一下:

\frac{1}{7}=0.\overline{142857} ,故循環周期(decimal period)為 6。

\frac{1}{17}=0.\overline{088235294117647} ,循環周期為 16。

\frac{1}{19}=0.\overline{052631578947368421},循環周期為 18。

對於所有質數 p\frac{1}{p} 的循環周期都是 p-1 嗎? (more…)

2018/09/15

用積分證 0=-1

Filed under: NSS — johnmayhk @ 6:01 下午
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用 integration by parts 處理 \int \tan xdx 如下

\int \tan xdx=\int \frac{\sin xdx}{\cos x}=-\int \frac{d\cos x}{\cos x}=-\frac{\cos x}{\cos x}+\int \cos xd(\sec x)=-1+\int \tan xdx

於是

0=-1 (more…)

2018/07/18

畫 y=x^(1/n)

Filed under: Additional / Applied Mathematics,mathematics,NSS — johnmayhk @ 12:57 下午
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不用計算機,如何比較

\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{3}\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}

何值為大?

其中一個方法是考慮 y=\sqrt[3]{x} 的圖像,見下 (more…)

2018/07/13

pi的連分表達式

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 2:52 下午
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\pi 寫成連分數(continued fraction),方式甚多,以下是其中一種:

可以變成 M2 習題如下:

Define \displaystyle I_n=\int_0^1\frac{x^{2n}}{1+x^2}dx. (more…)

2018/06/10

tan(89.99 度)

Filed under: Additional / Applied Mathematics,NSS — johnmayhk @ 7:19 下午
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那天觀課,同事教 trigonometric graphs。談到 tangent graph 在 90 度處斷開,著同學試 tan(89∘), tan(89.9∘), tan(89.99∘) 之類,可見結果愈來愈大,去到 90 就無限大云云。

N 日後,有學生問我,何解相鄰結果似乎有 10 倍變化?見下:

(more…)

2018/04/17

互斥與獨立

Filed under: NSS — johnmayhk @ 12:37 下午
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免插聲明:純粹記錄某堂的片段,高手見諒。

今天上中五數學堂頗開心,可以和同學多點交流。剛開始談條件概率(conditional probability),有同學看到兩個分開的圈圈代表的事件:

問它們是彼此獨立的事件(independent events)嗎?

因為從圖看來,兩件事似乎不會影響對方。

這看法似乎頗合理:兩個東西分開,它們就冇影響,冇關。可是,數學上談獨立,另有所指; (more…)

2018/03/22

a question about inequality with derivatives

Filed under: Fun,mathematics,NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 3:46 下午
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Question

Let p(x) be a polynomial with real coefficients. Prove that if p(x)-p'(x)-p''(x)+p'''(x)\ge 0 for any real x, then p(x) \ge 0 for any real x.

Solution (elementary) (more…)

2018/03/21

某求導題

Filed under: Additional / Applied Mathematics,NSS — johnmayhk @ 3:29 下午
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早前中四測驗某題:

If \displaystyle \sqrt{x^3+y^3}=6(xy+1), find \displaystyle \frac{dy}{dx} at (1,-1).

建議答案如下:兩邊取平方

\displaystyle x^3+y^3=36(xy+1)^2

\displaystyle \Rightarrow \frac{d}{dx}(x^3+y^3)=\frac{d}{dx}36(xy+1)^2

從而得

\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{24xy^2+24y-x^2}{y^2-24x^2y-24x}

所以,

\displaystyle \frac{dy}{dx}|_{(1,-1)}=-1

但有學生給出以下解: (more…)

2018/03/14

黃金比某級數

Filed under: Fun,mathematics,NSS — johnmayhk @ 11:11 上午
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早前見某個和黃金比(Golden ratio)有關的級數(series):

\displaystyle \Phi=\frac{1}{\Phi}+\frac{1}{\Phi^2}+\frac{1}{\Phi^3}+\dots

其中

\displaystyle \Phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}

乃黃金比也。

高中同學當然可以等比級數和(sum of an infinite geometric series)秒之,這裡介紹一個所謂無言證明。

如果 \Phi 是黃金比,即以下長方形

(more…)

2018/03/05

度數弧度微積分

Filed under: Additional / Applied Mathematics,NSS — johnmayhk @ 12:10 下午
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(免插聲明:本篇頗無聊,高手見諒)

請問

\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x at x=0^o

是多少?

M2 學生應知

\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x=\cos x

代入 x=0^o,得

\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x=\cos 0^o=1

完。

但 \displaystyle \frac{d}{dx}\sin x=\cos x 是基於考慮 x 是以弧度(radian)量度下的產物,若題目的 x 是以度數(degree)量度如何? (more…)

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