Quod Erat Demonstrandum

2017/06/10

正多邊形方程

Filed under: Additional / Applied Mathematics,Fun,mathematics,NSS — johnmayhk @ 12:24 下午
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初中學過極座標(polar coordinates),但只限於描述點之位置。至於描述圖像之方程,到高中,課程也只利用 xy-plane,諸如方程 y=x^2 是描述二次圖像云云。其實極座標系統也可描述圖像的方程,只是如此知識早已湮沒在舊課程內。

所謂極座標,即是說,任何一點 P,其座標為 P(r,\theta),其中 rP 和極 O 的距離,\theta 就是 P 的旋轉角(angle of rotation),亦即由所謂正 x-軸量度至 OP 的角度(逆時針者取正,順時針取負)。

所謂利用極座標系統描述圖像方程,即是說,設圖形上任意一點為 P(r,\theta),若找出關係式 r=r(\theta),則該圖像之方程就是 r=r(\theta)

利用極座標系統描述圖像方程,方程有時是很簡潔的。以下看到,利用一條式便可描繪出正多邊形的圖像:

https://www.desmos.com/calculator/vv7stc4nl0

如上圖所示,單位圓外接正 n 邊形的方程是 (more…)

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2017/01/10

某經典幾何題

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 5:03 下午
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三個大小不同的圓,沒有一個完全在另一個之內。對於每兩個圓,可畫出兩條公共外切線(common external tangents),及其交點,即下圖的 P,Q,R。

問: P,Q,R 共線(collinear)嗎?同學可以先探究一下(輕輕地改變 A 和 X 的位置吧~):

https://www.geogebra.org/m/WPk7sZUJ

(若有興趣知如何構作兩圓的外公共切線,可看文末的附錄*)

第一次接觸此題,大概在 1995 年,看以下數普書: (more…)

2016/08/29

講兩題

Filed under: Junior Form Mathematics,NSS — johnmayhk @ 5:02 下午
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seize-the-moment-geek-green

對,seize the moment,抓緊此際講兩題。

(注:上圖式子是 k^{th} moment 的定義。特別地,當 k=2,它就是方差 variance。)

(一)

修物理的同學一定學過透鏡公式(lens formula)

\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v} (more…)

2016/06/14

正七邊形

Filed under: Fun — johnmayhk @ 12:07 上午
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如無必要都唔想拍片,超累的說:

(習題)從片中某些結果不難推出以下命題: (more…)

2015/11/12

無聊兩題

Filed under: Junior Form Mathematics,NSS — johnmayhk @ 9:39 下午
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1. 初中

參考下圖

johnmayhk-congruce-ass

已知:\angle C=\angle DAC=AD

問:\Delta ABC \cong \Delta ABD 嗎?

如果同學寫: (more…)

2015/08/25

等邊三角形面積

Filed under: Junior Form Mathematics,NSS — johnmayhk @ 4:03 下午
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教書初年遇此題:

johnmayhk-equil-01

等邊三角形 ABC 內有 P 點,其中 AP = 3 cm, BP = 5 cm, CP = 4 cm,求 ΔABC 面積。

其中一個解法, (more…)

2015/07/14

某初中幾何題

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 10:53 上午
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看到學生考試表現,隨便可以寫幾個 post 以作賽後檢討。以下是中三數學其中一題的其中一部份:

johnmayhk-f3-geometry-01

圖中長度分別為 6 cm, c cm 及 12 cm 的線段彼此平行,求 c 值。

原本希望學生用(課程定義的那個)intercept theorem 呀,再用 mid-point theorem 呀去處理,但某班學生二話不說,立即寫:

c=\frac{6+12}{2}

正確。但 (more…)

2015/05/20

幾何老題

Filed under: Fun — johnmayhk @ 1:40 下午
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那天在校開會途中,傳來舊同學的 whatsapp,原來是一個幾何問題:

johnmayhk-concurrent-chords
x 的大小。(圖有誤,\angle ACD=30^o,非 60^o

那應是經典題,以前寫文時引過這例,見: (more…)

2015/03/07

幾條正三角形

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 8:59 下午
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有時在街中,也傅來學生用 fb 或 whatsapp 問數如下,回家答之。可能有更好解法,但我只想到以下解,高手見諒。

從學生甲:

johnmayhk-geometry-jaco1

設 ABC 是正三角形,D 和 E 分別在 BC 和 CA 上。AD 交 BE 於 P。若 AE = DC 及 BQ \perp AD,求 BP : PQ。

(more…)

2013/07/07

just an old file

Filed under: mathematics — johnmayhk @ 3:11 下午
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偶爾執拾三四年前的舊檔,隨便貼貼:利用雙曲線特性平分三角形面積

2013/07/05

某幾何題

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 5:14 下午
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參考下圖,求 \angle ADB

高中同學可以試試。

從作圖過程: (more…)

2011/08/29

久違了的簡單幾何題

Filed under: Junior Form Mathematics,mathematics — johnmayhk @ 4:04 下午
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補課時無聊問:

參考上圖,D, E, F, 分別在 BC, CA, AB 之上。其中 AF:FB = BD:DC = CE:EA = 2。

求 △DEF 和 △ABC 之面積比。

同學說,他在小學時做過 (more…)

2010/05/22

兩個無言證明

早前網友電郵分享了一個關於海倫公式(Heron’s formula)的「無言證明」(Proof without words)。無言證明者:一看就明,無須多言。

利用兩個引理,得出公式。

引理一K = rs (more…)

2010/04/23

一點心情

Filed under: NSS,School Activities — johnmayhk @ 12:05 上午
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我校有 5 班中四,其中 2 班開設 M2,1 班 M1。

在學校工作了一些時間,累積了些少經驗。只是,今年我上的中四數學課(M2),感覺和之前不同。

兩連堂,第一堂完的下課鐘聲 (more…)

2010/04/12

有關雙曲線的兩件事

Filed under: HKALE,Pure Mathematics — johnmayhk @ 5:29 下午
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雙曲線(hyperbola)的貫軸/橫截軸(transverse axis)之定義如何?

a, b 為正數。

教科書及較舊的純數參考書記:對於方程為 \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 的雙曲線,其圖象如下:


(圖片來源:維基) (more…)

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