等邊三角形

中學時遇上一些數題，特別有印象，這次談有關等邊三角形。

e.g. 1

下圖 ，， 皆為等邊三角形

證明 是平行四邊形。

只要看到當中的全等三角形，見下圖紅色者：

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平行四邊形的條件

課堂談以下題目：

即是，有一對角相等及一對邊平行，則可得平行四邊形。理由：兩對對角相等。

之後我問：若有一對角相等及一對邊相等（見下圖），也可得平行四邊形嗎？

可以？還是不可？同學，自行探究一下吧：

作正五邊形

中二課本仍有教授（在定圓上）構作正五邊形的方法，見下

網友問原理為何？

正多邊形方程

初中學過極座標（polar coordinates），但只限於描述點之位置。至於描述圖像之方程，到高中，課程也只利用 xy-plane，諸如方程 是描述二次圖像云云。其實極座標系統也可描述圖像的方程，只是如此知識早已湮沒在舊課程內。

所謂極座標，即是說，任何一點 ，其座標為 ，其中 即 和極 的距離， 就是 的旋轉角（angle of rotation），亦即由所謂正 x-軸量度至 的角度（逆時針者取正，順時針取負）。

所謂利用極座標系統描述圖像方程，即是說，設圖形上任意一點為 ，若找出關係式 ，則該圖像之方程就是 。

利用極座標系統描述圖像方程，方程有時是很簡潔的。以下看到，利用一條式便可描繪出正多邊形的圖像：

https://www.desmos.com/calculator/vv7stc4nl0

如上圖所示，單位圓外接正 n 邊形的方程是

某經典幾何題

三個大小不同的圓，沒有一個完全在另一個之內。對於每兩個圓，可畫出兩條公共外切線（common external tangents），及其交點，即下圖的 P，Q，R。

問： P，Q，R 共線（collinear）嗎？同學可以先探究一下（輕輕地改變 A 和 X 的位置吧～）：

https://www.geogebra.org/m/WPk7sZUJ

（若有興趣知如何構作兩圓的外公共切線，可看文末的附錄*）

第一次接觸此題，大概在 1995 年，看以下數普書：

講兩題

對，seize the moment，抓緊此際講兩題。

（注：上圖式子是 moment 的定義。特別地，當 k=2，它就是方差 variance。）

（一）

修物理的同學一定學過透鏡公式（lens formula）

正七邊形

如無必要都唔想拍片，超累的說：

（習題）從片中某些結果不難推出以下命題：

無聊兩題

1. 初中

參考下圖

已知：，

問： 嗎？

如果同學寫：

等邊三角形面積

教書初年遇此題：

等邊三角形 ABC 內有 P 點，其中 AP = 3 cm, BP = 5 cm, CP = 4 cm，求 ΔABC 面積。

其中一個解法，

某初中幾何題

看到學生考試表現，隨便可以寫幾個 post 以作賽後檢討。以下是中三數學其中一題的其中一部份：

圖中長度分別為 6 cm, cm 及 12 cm 的線段彼此平行，求 值。

原本希望學生用（課程定義的那個）intercept theorem 呀，再用 mid-point theorem 呀去處理，但某班學生二話不說，立即寫：

正確。但

幾何老題

那天在校開會途中，傳來舊同學的 whatsapp，原來是一個幾何問題：

求 的大小。（圖有誤，，非 ）

那應是經典題，以前寫文時引過這例，見：

幾條正三角形

有時在街中，也傅來學生用 fb 或 whatsapp 問數如下，回家答之。可能有更好解法，但我只想到以下解，高手見諒。

從學生甲：

設 ABC 是正三角形，D 和 E 分別在 BC 和 CA 上。AD 交 BE 於 P。若 AE = DC 及 BQ AD，求 BP : PQ。

解

just an old file

偶爾執拾三四年前的舊檔，隨便貼貼：利用雙曲線特性平分三角形面積

某幾何題

參考下圖，求 。

高中同學可以試試。

從作圖過程：

久違了的簡單幾何題

補課時無聊問：

參考上圖，D, E, F, 分別在 BC, CA, AB 之上。其中 AF:FB = BD:DC = CE:EA = 2。

求 △DEF 和 △ABC 之面積比。

同學說，他在小學時做過