1992 HKCEE Paper 2 Q.50

今天有學生問這道會考數學題（1992 HKCEE Paper 2 Q.50）：

In the figure, the two circles touch each other at C. The diameter AB of the bigger circle is tangent to the smaller circle at D. If DE bisects ∠ADC, find θ.

（圖一）

A. 24°

B. 38°

C. 45°

D. 52°

E. 66°

其中一個做法是
∠DCA = 90° – θ (∠ in semi-circle)
= ∠ADE (∠ in alt. seg.)
= ∠CDE (angle bisector)
In △ADC,
3(90° – θ) + 24° = 180°
θ = 38°

學生利用兩圓的公切線，發覺怪事：

設 CT 為兩圓公切線，
∠BCT = 24° (∠ in alt. seg.)
∠DEC = ∠DCT = θ + 24° (∠ in alt. seg.)
∠ADE = ∠DEC – ∠CAB = θ (ext. ∠ of △)
∠EDC = θ (angle bisector)
and ∠ECD = θ (∠ in alt. seg.) ………….. (*)
In △CDE,
θ + 24° + θ + θ = 180°
θ = 52°

又比如，依從上面做法，在 (*) 後，考慮
∠ACB = θ + θ = 90°
θ = 45°

究竟答案是 B，C 還是 D？看來當年「香港考試局」（2002 年易名為「香港考試及評核局」）出這多項選擇題的 distractors 是認真想過，不過這題似乎出錯。

從作圖的程序想，先畫直徑 AB，由 A 量 24° 得 C，見下：

此時，同時以 AB 為切線又切大圓於 C 的圓，只有唯一一個，見下。（同學可以想想如何構作下圖的小圓，試用 Geogebra 畫出來）

於是唯一地決定 D 及 E 點的位置：

問題來了，當這一切，包括 θ 已經確定，何來再額外需要 DE 平分 ∠ADC 這個條件？

我嘗試照考試局提供的答案 B 來畫（見下圖），即由 24° 出發畫 C，再由 θ = 38° 得 G，再由角平分線得 Ｈ，最後過 C, G, H 得小圓。可見，大小兩圓並不相切。

習題：

1. 參考（圖一）：In the figure, the two circles touch each other at C. The diameter AB of the bigger circle is tangent to the smaller circle at D, find the size of θ.
2. 如何得出原題的 distractors A 及 E？

Similar-looking formula

The equivalent resistance of a parallel circuit

can be determined by

.

A similar-looking formula found in a basic mathematics question involving parallel lines as shown below:

線長乘積

考慮單位圓內接正多邊形，比如正方形

由某點（比方說 A）出發，連起其他頂點，得出 3 條線段，其長度分別為 2, , ，故乘積（product）為 4。

對於五邊形

由某點出發連起其他頂點，得出 4 條線段，那麼線段長度的乘積如何？

等邊三角形

中學時遇上一些數題，特別有印象，這次談有關等邊三角形。

e.g. 1

下圖 ，， 皆為等邊三角形

證明 是平行四邊形。

只要看到當中的全等三角形，見下圖紅色者：

平行四邊形的條件

課堂談以下題目：

即是，有一對角相等及一對邊平行，則可得平行四邊形。理由：兩對對角相等。

之後我問：若有一對角相等及一對邊相等（見下圖），也可得平行四邊形嗎？

可以？還是不可？同學，自行探究一下吧：

作正五邊形

中二課本仍有教授（在定圓上）構作正五邊形的方法，見下

網友問原理為何？

正多邊形方程

初中學過極座標（polar coordinates），但只限於描述點之位置。至於描述圖像之方程，到高中，課程也只利用 xy-plane，諸如方程 是描述二次圖像云云。其實極座標系統也可描述圖像的方程，只是如此知識早已湮沒在舊課程內。

所謂極座標，即是說，任何一點 ，其座標為 ，其中 即 和極 的距離， 就是 的旋轉角（angle of rotation），亦即由所謂正 x-軸量度至 的角度（逆時針者取正，順時針取負）。

所謂利用極座標系統描述圖像方程，即是說，設圖形上任意一點為 ，若找出關係式 ，則該圖像之方程就是 。

利用極座標系統描述圖像方程，方程有時是很簡潔的。以下看到，利用一條式便可描繪出正多邊形的圖像：

https://www.desmos.com/calculator/vv7stc4nl0

如上圖所示，單位圓外接正 n 邊形的方程是

某經典幾何題

三個大小不同的圓，沒有一個完全在另一個之內。對於每兩個圓，可畫出兩條公共外切線（common external tangents），及其交點，即下圖的 P，Q，R。

問： P，Q，R 共線（collinear）嗎？同學可以先探究一下（輕輕地改變 A 和 X 的位置吧～）：

https://www.geogebra.org/m/WPk7sZUJ

（若有興趣知如何構作兩圓的外公共切線，可看文末的附錄*）

第一次接觸此題，大概在 1995 年，看以下數普書：

講兩題

對，seize the moment，抓緊此際講兩題。

（注：上圖式子是 moment 的定義。特別地，當 k=2，它就是方差 variance。）

（一）

修物理的同學一定學過透鏡公式（lens formula）

正七邊形

如無必要都唔想拍片，超累的說：

（習題）從片中某些結果不難推出以下命題：

無聊兩題

1. 初中

參考下圖

已知：，

問： 嗎？

如果同學寫：

等邊三角形面積

教書初年遇此題：

等邊三角形 ABC 內有 P 點，其中 AP = 3 cm, BP = 5 cm, CP = 4 cm，求 ΔABC 面積。

其中一個解法，

某初中幾何題

看到學生考試表現，隨便可以寫幾個 post 以作賽後檢討。以下是中三數學其中一題的其中一部份：

圖中長度分別為 6 cm, cm 及 12 cm 的線段彼此平行，求 值。

原本希望學生用（課程定義的那個）intercept theorem 呀，再用 mid-point theorem 呀去處理，但某班學生二話不說，立即寫：

正確。但

幾何老題

那天在校開會途中，傳來舊同學的 whatsapp，原來是一個幾何問題：

求 的大小。（圖有誤，，非 ）

那應是經典題，以前寫文時引過這例，見：

幾條正三角形

有時在街中，也傅來學生用 fb 或 whatsapp 問數如下，回家答之。可能有更好解法，但我只想到以下解，高手見諒。

從學生甲：

設 ABC 是正三角形，D 和 E 分別在 BC 和 CA 上。AD 交 BE 於 P。若 AE = DC 及 BQ AD，求 BP : PQ。

解