中學時遇上一些數題,特別有印象,這次談有關等邊三角形。
e.g. 1
下圖 ,
,
皆為等邊三角形
證明 是平行四邊形。
只要看到當中的全等三角形,見下圖紅色者: (more…)
課堂談以下題目:
即是,有一對角相等及一對邊平行,則可得平行四邊形。理由:兩對對角相等。
之後我問:若有一對角相等及一對邊相等(見下圖),也可得平行四邊形嗎?
可以?還是不可?同學,自行探究一下吧: (more…)
初中學過極座標(polar coordinates),但只限於描述點之位置。至於描述圖像之方程,到高中,課程也只利用 xy-plane,諸如方程 是描述二次圖像云云。其實極座標系統也可描述圖像的方程,只是如此知識早已湮沒在舊課程內。
所謂極座標,即是說,任何一點 ,其座標為
,其中
即
和極
的距離,
就是
的旋轉角(angle of rotation),亦即由所謂正 x-軸量度至
的角度(逆時針者取正,順時針取負)。
所謂利用極座標系統描述圖像方程,即是說,設圖形上任意一點為 ,若找出關係式
,則該圖像之方程就是
。
利用極座標系統描述圖像方程,方程有時是很簡潔的。以下看到,利用一條式便可描繪出正多邊形的圖像:
https://www.desmos.com/calculator/vv7stc4nl0
如上圖所示,單位圓外接正 n 邊形的方程是 (more…)
三個大小不同的圓,沒有一個完全在另一個之內。對於每兩個圓,可畫出兩條公共外切線(common external tangents),及其交點,即下圖的 P,Q,R。
問: P,Q,R 共線(collinear)嗎?同學可以先探究一下(輕輕地改變 A 和 X 的位置吧~):
https://www.geogebra.org/m/WPk7sZUJ
(若有興趣知如何構作兩圓的外公共切線,可看文末的附錄*)
第一次接觸此題,大概在 1995 年,看以下數普書: (more…)
對,seize the moment,抓緊此際講兩題。
(注:上圖式子是 moment 的定義。特別地,當 k=2,它就是方差 variance。)
(一)
修物理的同學一定學過透鏡公式(lens formula)
看到學生考試表現,隨便可以寫幾個 post 以作賽後檢討。以下是中三數學其中一題的其中一部份:
圖中長度分別為 6 cm, cm 及 12 cm 的線段彼此平行,求
值。
原本希望學生用(課程定義的那個)intercept theorem 呀,再用 mid-point theorem 呀去處理,但某班學生二話不說,立即寫:
正確。但 (more…)
有時在街中,也傅來學生用 fb 或 whatsapp 問數如下,回家答之。可能有更好解法,但我只想到以下解,高手見諒。
從學生甲:
設 ABC 是正三角形,D 和 E 分別在 BC 和 CA 上。AD 交 BE 於 P。若 AE = DC 及 BQ AD,求 BP : PQ。
解 (more…)
補課時無聊問:
參考上圖,D, E, F, 分別在 BC, CA, AB 之上。其中 AF:FB = BD:DC = CE:EA = 2。
求 △DEF 和 △ABC 之面積比。
同學說,他在小學時做過 (more…)