Quod Erat Demonstrandum

2018/07/18

畫 y=x^(1/n)

Filed under: Additional / Applied Mathematics,mathematics,NSS — johnmayhk @ 12:57 下午
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不用計算機,如何比較

\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{3}\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}

何值為大?

其中一個方法是考慮 y=\sqrt[3]{x} 的圖像,見下 (more…)

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2018/06/10

tan(89.99 度)

Filed under: Additional / Applied Mathematics,NSS — johnmayhk @ 7:19 下午
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那天觀課,同事教 trigonometric graphs。談到 tangent graph 在 90 度處斷開,著同學試 tan(89∘), tan(89.9∘), tan(89.99∘) 之類,可見結果愈來愈大,去到 90 就無限大云云。

N 日後,有學生問我,何解相鄰結果似乎有 10 倍變化?見下:

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2018/03/21

某求導題

Filed under: Additional / Applied Mathematics,NSS — johnmayhk @ 3:29 下午
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早前中四測驗某題:

If \displaystyle \sqrt{x^3+y^3}=6(xy+1), find \displaystyle \frac{dy}{dx} at (1,-1).

建議答案如下:兩邊取平方

\displaystyle x^3+y^3=36(xy+1)^2

\displaystyle \Rightarrow \frac{d}{dx}(x^3+y^3)=\frac{d}{dx}36(xy+1)^2

從而得

\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{24xy^2+24y-x^2}{y^2-24x^2y-24x}

所以,

\displaystyle \frac{dy}{dx}|_{(1,-1)}=-1

但有學生給出以下解: (more…)

2018/03/05

度數弧度微積分

Filed under: Additional / Applied Mathematics,NSS — johnmayhk @ 12:10 下午
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(免插聲明:本篇頗無聊,高手見諒)

請問

\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x at x=0^o

是多少?

M2 學生應知

\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x=\cos x

代入 x=0^o,得

\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x=\cos 0^o=1

完。

但 \displaystyle \frac{d}{dx}\sin x=\cos x 是基於考慮 x 是以弧度(radian)量度下的產物,若題目的 x 是以度數(degree)量度如何? (more…)

2017/11/14

as gs

Filed under: Additional / Applied Mathematics,mathematics,NSS — johnmayhk @ 12:29 上午
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同事擬 core mathematics 某統測題如下:

Derive the formula for the sum of first n terms of the following sequence in terms of a,b,d,r,n, where r \ne 1.

ab,(a+d)br,(a+2d)br^2,(a+3d)br^3,\dots

我班沒人得出答案。沒所謂,全卷 67 分,這必答題佔 6 分而已。

上述數列稱為 arithmetico-geometric sequence,我以前教 applied math 時就隨便稱它為 AGS。

在 applied math 的課程 (more…)

2017/11/08

作正五邊形

Filed under: Additional / Applied Mathematics,Fun,Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 10:49 上午
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中二課本仍有教授(在定圓上)構作正五邊形的方法,見下

網友問原理為何? (more…)

2017/08/13

最小值

Filed under: Additional / Applied Mathematics,NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 6:19 下午

教中三不等式時,跟同學討論過:

已知

x\ge 3

我們不能說

x 的最小值是 3,

除非 x 真的可以等於 3。

舉一例。

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2017/06/10

正多邊形方程

Filed under: Additional / Applied Mathematics,Fun,mathematics,NSS — johnmayhk @ 12:24 下午
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初中學過極座標(polar coordinates),但只限於描述點之位置。至於描述圖像之方程,到高中,課程也只利用 xy-plane,諸如方程 y=x^2 是描述二次圖像云云。其實極座標系統也可描述圖像的方程,只是如此知識早已湮沒在舊課程內。

所謂極座標,即是說,任何一點 P,其座標為 P(r,\theta),其中 rP 和極 O 的距離,\theta 就是 P 的旋轉角(angle of rotation),亦即由所謂正 x-軸量度至 OP 的角度(逆時針者取正,順時針取負)。

所謂利用極座標系統描述圖像方程,即是說,設圖形上任意一點為 P(r,\theta),若找出關係式 r=r(\theta),則該圖像之方程就是 r=r(\theta)

利用極座標系統描述圖像方程,方程有時是很簡潔的。以下看到,利用一條式便可描繪出正多邊形的圖像:

https://www.desmos.com/calculator/vv7stc4nl0

如上圖所示,單位圓外接正 n 邊形的方程是 (more…)

2017/03/19

盛水水深

Filed under: Additional / Applied Mathematics,HKCEE,NSS — johnmayhk @ 12:43 下午
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常見初中數學題:

圓錐容器高 H 單位。容器內盛水,垂直倒置時水深 h 單位(Fig. 1),把其倒轉平放水平面後(Fig.2),求水深。

利用相似形體積比等於對應邊比之立方,不難得 k=\sqrt[3]{H^3-h^3},故水深為

(H-\sqrt[3]{H^3-h^3}) 單位。

早前同事出題:如果容器是橢圓體,同樣問題如何解決?

具體一點,參考下圖

容器形狀是橢圓 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 環繞 y-軸轉出來的旋轉體。

容器內盛水,水深 h 單位(Fig. 3)把容器沿 O 轉 90 度(Fig.4)(注:其實是沿 z-軸),求水深。 (more…)

2016/03/21

用D證trigo

Filed under: Additional / Applied Mathematics,NSS — johnmayhk @ 11:13 上午
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某 M2 題…

Prove the following identity

\cos^2x+\cos^2(x+y)-2\cos y\cos x\cos(x+y)=\sin^2y.

試試"D吓佢"… (more…)

2015/08/28

sum of 1/k^2 from 1 to infinity

Filed under: Additional / Applied Mathematics,Fun — johnmayhk @ 4:30 下午
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非正式地所謂證明 \displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}
…………………………………………….

首先要知,下式的根之總和(sum of roots)

ax^n+bx^{n-1}+\dots +cx+d=0 ………. (*)

-\frac{b}{a}(more…)

2015/08/16

某舊習題

Filed under: Additional / Applied Mathematics,Pure Mathematics — johnmayhk @ 4:25 下午
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不知大家曾否被數學題吸引?剛在書櫃找東西時,隨意翻閱我校某本過時的中學數學參考書(1942 年,第 5 版)

johnmayhk-tutorial-algebra-cover

偶見一道頗吸引我的中學數學題:

證明:

a+b+c=0

\frac{a^5+b^5+c^5}{5}=\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\cdot \frac{a^2+b^2+c^2}{2}

我只是被那公整的模樣吸引,其實這是一道純數的基本習題。但舊書用的是應數的方法,見下: (more…)

2014/06/11

M2 某題

Filed under: Additional / Applied Mathematics,NSS — johnmayhk @ 9:06 上午
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M2 學生問以下一題

The slope at any point (x,y) of a curve is given by

\frac{dy}{dx}=y(2x+9).

If the curve lies above the x-axis, and it passes (0,8), find the equation of the curve.
(more…)

2014/01/01

HT

Filed under: Additional / Applied Mathematics,Fun,HKALE — johnmayhk @ 12:27 上午
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以下題目也見過數次,現在才知是 1981 年比利時數學競賽的某題目:

不停擲一枚公平硬幣,問以下哪一事件出現的機會較大?

(a) THT 比 TTT 先出現;
(b) TTT 比 THT 先出現。

(T = tail,H = head)

比如

HHTHHHHTHTHHHTT… 就是 (a) 其中一種情況;
HTTHHHTTHHTTTHT… 就是 (b) 其中一種情況;

不知諸君會否認為 (a) 和 (b) 出現之機會均等?

非也, (more…)

2012/07/25

根中根

Filed under: Additional / Applied Mathematics,HKCEE,NSS — johnmayhk @ 11:40 上午

易知

\sqrt{3+\sqrt{8}}=1+\sqrt{2}

\sqrt{3+\sqrt{7}}

卻「不能」如上例作「進一步運算」。

於是學生曾問,甚麼樣的無理數 (more…)

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