Quod Erat Demonstrandum

2020/12/28

無聊談兩個不等式

Filed under: Additional / Applied Mathematics,Pure Mathematics — johnmayhk @ 6:38 下午
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自從和純數和附加數說再見後，大部分香港中學生只有解不等式，絕少接觸證明不等式成立的題目。

初中課程內仍有淺嚐三角形不等式的課題，即對於非退化（non-degenerate）三角形，邊長 a,b,c 者

恆有

a+b > c，b+c > a　及　c+a > b

同學，利用 cosine law，我們輕易得出

2(a^2+b^2) > c^2

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2020/05/21

Basic question of differentiation

Filed under: Additional / Applied Mathematics,mathematics,NSS — johnmayhk @ 7:20 下午
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HKDSE 2020 M2 Q.9 (b), a 2-mark question:

Given \displaystyle f(x)=\frac{(x+4)^3}{(x-4)^2}, find f''(x).

How fast can you finish this part and obtain the correct answer, especially when you are under the pressure during the public examination?

3 minutes? (2/100 * total time allowed = 2/100 * 150 minutes)

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2020/02/28

正弦積

Filed under: Additional / Applied Mathematics,HKALE,Junior Form Mathematics,mathematics,Pure Mathematics — johnmayhk @ 4:45 下午
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初中同學，請問下式何值？

\tan 1^o\tan 2^o\tan 3^o\dots \tan 88^o\tan 89^o

因為

\tan \theta \tan (90^o-\theta) \equiv 1

所以

\tan 1^o\tan 2^o\tan 3^o\dots \tan 88^o\tan 89^o
=(\tan 1^o\tan 89^o)(\tan 2^o\tan 88^o)\dots (\tan 44^o\tan 46^o)\tan 45^o
=1\times 1\times \dots \times 1
=1

冇難度。

但

\sin 1^o\sin 2^o\sin 3^o\dots \sin 88^o\sin 89^o

呢？
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2019/12/08

受保護的文章：F5 M2 RT 20191206

Filed under: Additional / Applied Mathematics,NSS — johnmayhk @ 11:49 上午
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2019/05/05

What’s wrong?

Filed under: Additional / Applied Mathematics,NSS — johnmayhk @ 7:05 下午
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Here is a basic level M2 question:

Given that \sqrt{xy}=7+2y, find \frac{dy}{dx} at (-\frac{1}{3},-3).

Student 1 gave

\frac{1}{2\sqrt{xy}}(x\frac{dy}{dx}+y)=2\frac{dy}{dx}

\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x}{y}}\frac{dy}{dx}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{x}}=2\frac{dy}{dx}

\frac{dy}{dx}=\sqrt{\frac{y}{x}}\cdot\frac{1}{4-\sqrt{\frac{x}{y}}}

Thus, at (-\frac{1}{3},-3),

\frac{dy}{dx}=\sqrt{\frac{-3}{-1/3}}\cdot\frac{1}{4-\sqrt{\frac{-1/3}{-3}}}=\frac{9}{11}

Student 2 gave (more…)

2018/11/20

費氏講

Filed under: Additional / Applied Mathematics,Fun,Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 6:36 下午
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N 年前往中一班代堂，必談「64 = 65」謎題：


(圖片來源：https://i.stack.imgur.com/fWdMd.jpg)

對以上現象，小朋友給了不少有創意但錯誤的解釋，如「冷縮熱漲」。

所謂 (more…)

2018/07/18

畫 y=x^(1/n)

Filed under: Additional / Applied Mathematics,mathematics,NSS — johnmayhk @ 12:57 下午
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不用計算機，如何比較

\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{3} 和 \sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}

何值為大？

其中一個方法是考慮 y=\sqrt[3]{x} 的圖像，見下 (more…)

2018/06/10

tan(89.99 度)

Filed under: Additional / Applied Mathematics,NSS — johnmayhk @ 7:19 下午
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那天觀課，同事教 trigonometric graphs。談到 tangent graph 在 90 度處斷開，著同學試 tan(89∘), tan(89.9∘), tan(89.99∘) 之類，可見結果愈來愈大，去到 90 就無限大云云。

N 日後，有學生問我，何解相鄰結果似乎有 10 倍變化？見下：

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2018/03/21

某求導題

Filed under: Additional / Applied Mathematics,NSS — johnmayhk @ 3:29 下午
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早前中四測驗某題：

If \displaystyle \sqrt{x^3+y^3}=6(xy+1), find \displaystyle \frac{dy}{dx} at (1,-1).

建議答案如下:兩邊取平方

\displaystyle x^3+y^3=36(xy+1)^2

\displaystyle \Rightarrow \frac{d}{dx}(x^3+y^3)=\frac{d}{dx}36(xy+1)^2

從而得

\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{24xy^2+24y-x^2}{y^2-24x^2y-24x}

所以，

\displaystyle \frac{dy}{dx}|_{(1,-1)}=-1

但有學生給出以下解： (more…)

2018/03/05

度數弧度微積分

Filed under: Additional / Applied Mathematics,NSS — johnmayhk @ 12:10 下午
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（免插聲明：本篇頗無聊，高手見諒）

請問

\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x　at　x=0^o

是多少？

M2 學生應知

\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x=\cos x

代入 x=0^o，得

\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x=\cos 0^o=1

完。

但　\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x=\cos x　是基於考慮 x 是以弧度（radian）量度下的產物，若題目的 x 是以度數（degree）量度如何？ (more…)

2017/11/14

as gs

Filed under: Additional / Applied Mathematics,mathematics,NSS — johnmayhk @ 12:29 上午
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同事擬 core mathematics 某統測題如下：

Derive the formula for the sum of first n terms of the following sequence in terms of a,b,d,r,n, where r \ne 1.

ab,(a+d)br,(a+2d)br^2,(a+3d)br^3,\dots

我班沒人得出答案。沒所謂，全卷 67 分，這必答題佔 6 分而已。

上述數列稱為 arithmetico-geometric sequence，我以前教 applied math 時就隨便稱它為 AGS。

在 applied math 的課程 (more…)

2017/11/08

作正五邊形

Filed under: Additional / Applied Mathematics,Fun,Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 10:49 上午
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中二課本仍有教授（在定圓上）構作正五邊形的方法，見下

網友問原理為何？ (more…)

2017/08/13

最小值

Filed under: Additional / Applied Mathematics,NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 6:19 下午

教中三不等式時，跟同學討論過：

已知

x\ge 3

我們不能說

x 的最小值是 3，

除非 x 真的可以等於 3。

舉一例。

對 (more…)

2017/06/10

正多邊形方程

Filed under: Additional / Applied Mathematics,Fun,mathematics,NSS — johnmayhk @ 12:24 下午
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初中學過極座標（polar coordinates），但只限於描述點之位置。至於描述圖像之方程，到高中，課程也只利用 xy-plane，諸如方程 y=x^2 是描述二次圖像云云。其實極座標系統也可描述圖像的方程，只是如此知識早已湮沒在舊課程內。

所謂極座標，即是說，任何一點 P，其座標為 P(r,\theta)，其中 r 即 P 和極 O 的距離，\theta 就是 P 的旋轉角（angle of rotation），亦即由所謂正 x-軸量度至 OP 的角度（逆時針者取正，順時針取負）。

所謂利用極座標系統描述圖像方程，即是說，設圖形上任意一點為 P(r,\theta)，若找出關係式 r=r(\theta)，則該圖像之方程就是 r=r(\theta)。

利用極座標系統描述圖像方程，方程有時是很簡潔的。以下看到，利用一條式便可描繪出正多邊形的圖像：

https://www.desmos.com/calculator/vv7stc4nl0

如上圖所示，單位圓外接正 n 邊形的方程是 (more…)

2017/03/19

盛水水深

Filed under: Additional / Applied Mathematics,HKCEE,NSS — johnmayhk @ 12:43 下午
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常見初中數學題：

圓錐容器高 H 單位。容器內盛水，垂直倒置時水深 h 單位（Fig. 1），把其倒轉平放水平面後（Fig.2），求水深。

利用相似形體積比等於對應邊比之立方，不難得 k=\sqrt[3]{H^3-h^3}，故水深為

(H-\sqrt[3]{H^3-h^3}) 單位。

早前同事出題：如果容器是橢圓體，同樣問題如何解決？

具體一點，參考下圖

容器形狀是橢圓 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 環繞 y-軸轉出來的旋轉體。

容器內盛水，水深 h 單位（Fig. 3）把容器沿 O 轉 90 度（Fig.4）（注：其實是沿 z-軸），求水深。 (more…)

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