Quod Erat Demonstrandum

2015/09/13

一式過

Filed under: Pure Mathematics — johnmayhk @ 5:19 下午
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比如要寫出以下數列的通項

-1,1,-1,1,\dots

應該不難得出

(-1)^n

吧。(這樣假設上述數列的變化模式不變,一直都是「負 1 正 1」咁去。)

但還有沒有其他可能?

有的,比如 (more…)

2014/05/21

與漸近線相交

Filed under: Fun,Pure Mathematics — johnmayhk @ 1:35 下午
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曲線和其漸近線(asymptotes)可以沒有交點,(例如 xy=1 的圖像和其漸近線 y=0x=0 也沒有交點。)也可以有一個交點,例如 2007 HKAL Pure Mathematics Paper II Q.7,有關 y=\frac{(x+15)(x+1)^2}{(x-6)^2} 的圖像,交漸近線 y=x+29 於一點,見下:

johnmayhk-asy1

「人工」地使圖像產生「劇烈」變化, (more…)

2014/02/11

二項極限

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 3:16 下午
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某顏冊頁見以下結果:

johnmayhk-binomial-limit
(圖片來源:Mathematics)

在留言中提到

“…is a recently discovered beauty, probably in 2012…"

頓時有種叫人肅然起敬之感,但其實 (more…)

2010/05/11

無聊中四數學課紀錄:(1 + 1/n)^n

Filed under: NSS,Teaching — johnmayhk @ 10:57 下午
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為熟習

e = \displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}(1 + \frac{1}{n})^n

上課時,我給同學想想

(a) \displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}(1 + \frac{1}{2n})^{2n} = ? (more…)

2009/07/03

計到即存在?

Filed under: HKALE,Pure Mathematics — johnmayhk @ 8:41 上午
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初中時教解二次方程,我通常順便說一個無聊的例:

\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots}}}} = ?

要求出「答案」,我們可設 (more…)

2009/06/04

溫書題

Filed under: HKALE,HKCEE,mathematics,Pure Mathematics — johnmayhk @ 4:28 下午
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這是溫書時期。

1. 有關數列的題目

這是校內 2007-2008 年度純數期終試其中一題:
=======================================
Let {a_n} be a sequence of positive integers. Define sequences {b_n} and {c_n} as
b_1 = a_1, b_2 = a_1a_2 + 1, b_{n+2} = a_{n+2}b_{n+1} + b_{n}. (n \in \mathbb{N})
c_1 = 1, c_2 = a_2, c_{n+2} = a_{n+2}c_{n+1} + c_{n}. (n \in \mathbb{N})
Let x_n = \frac{b_n}{c_n}. (n \in \mathbb{N})

Show that x_1 \le \lim_{n \rightarrow \infty}x_n \le 1 + x_1.
======================================= (more…)

2009/05/13

數數唸

一.

以下數字是「旋轉對稱」的嗎?

1961 (more…)

2009/04/22

一些有關不能使用 l’Hôpital’s rule 的例子

Filed under: HKALE,Pure Mathematics — johnmayhk @ 9:31 上午
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昨天和同事討論 l’Hôpital’s rule,我就是忘記了一個例子,以說明就算運用 l’Hôpital’s rule 找到 \lim \frac{f'}{g'} (有限值),它也未必等於 \lim \frac{f}{g},今早補貼一下: (more…)

2009/04/17

可導性

Filed under: HKALE,Pure Mathematics — johnmayhk @ 5:23 下午
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這是有關「可導性」(differentiablity)的討論,寫給那天沒有上復活假期補課班的中六同學。注:討論純粹以中學數學的觀點出發。

先請同學回答下面三道是非題:

1. Put x = 0 into the expression of f'(x) and it is undefined, then f(x) is not differentiable at x = 0. True?
2. If \lim_{x \rightarrow 0^-}f'(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+}f'(x), then f(x) is differentiable at x = 0. True?
3. If \lim_{x \rightarrow 0^-}f'(x) is finite, then the value of \lim_{h \rightarrow 0^-}\frac{f(h) - f(0)}{h} is also finite. True? (more…)

2009/03/29

大數值的乘階

中四同學在學期初已接觸乘階(factorial) n! 的運算。比如

1! = 1
2! = 1 \times 2 = 2
3! = 1 \times 2 \times 3 = 6
4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24

理論上,這個正整數 n,可以「要幾大,有幾大」;但實際上,我們日常接觸的運算工具,必有其限制;用 EXCEL 2003,只可以算出的最大乘階是

170! \approx 7.2574 \times 10^{306}

這個數字有多大? (more…)

2009/03/10

Limit of tan(x)/x

Filed under: HKALE,Pure Mathematics — johnmayhk @ 9:42 下午
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When introducing the following ‘important’ limit to F.6B boys,

\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1,

I added the following question

\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x} = ? (more…)

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