Quod Erat Demonstrandum

2009/12/14

拋物線的某特性

Filed under: Additional / Applied Mathematics,HKALE,Pure Mathematics — johnmayhk @ 6:12 下午
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十一月初教圓錐曲線。一早已受公開試的指揮棒教導：這個題目不用放大多時間。以下是某堂的板書，同學也有印象嗎？

其中談及拋物線，我順便輕輕帶出：形狀為拋物線的凹面鏡（concave mirror）有幾何好處，就是把光源置於焦點（focus），光線會平行地反射出來的，故探射燈鏡面通常是拋物線旋轉面云云…見

這是我中三時學的物理知識，但中七同學立即道：「concave mirror 已是 out-of-syllabus（AL Physics）了。」

當然一提 out-of-syllabus，我立即收口，為照顧學習差異，唯有在網誌談談。

問題一：參下圖，設 F(a,0) 為拋物線 y^2 = 4ax 的焦點（其中 a > 0），證明反射光線（比如 PQ）平行拋物線之對稱軸。回答這個問題是容易的，起碼，它是屬於過往（2001 年以前）中學會考範圍。

我們希望證明：對拋物線上任何一點 P(at^2,2at)，FP 的反射線 PQ 平行 x-軸。

設 PT 為切線（tangent），PR 為法線（normal），由光的反射定律「入射角等於反射角」，易知

\angle RPQ = \angle RPF

不難知：\angle RPF = \angle PRF

（這是因為 FP = FR，為何？由拋物線的幾何定義，動點 P 和準線（directrix）x + a = 0 的距離（即圖中顯示線段 SP 的長度）恆等於 P 和焦點的距離。即 SP = FP。不難知 SP = at^2 - (-a) = at^2 + a。另外，不難得 R(2a + at^2,0)，故 FR = 2a + at^2 - a = at^2 + a，立知 SP = FR，也即是說 FP = FR。）

故 \angle RPQ = \angle PRF，即 PQ // FR。

問題二：是否任何滿足「把光源置於某定點，光線會平行地反射出來」的鏡面都必然是拋物線？

= = = 停一停，想一想 = = =

回答這個問題，要解微分方程，修應數的同學可以看看。

參考上圖。設要求圖象的方程為 y = f(x)。動點 P(x,y)。圖中的藍紅線分別是在 P 處的切線及法線。由「入射角等於反射角」，知 \alpha = \beta；由反射光線平行 x-軸，得 \alpha = \gamma，故 \beta = \gamma，即 PF = TF。

因 PT 的斜率為 \frac{dy}{dx}，故 \frac{y}{x-b} = \frac{dy}{dx}。得

b = x - y\frac{dx}{dy} …………(*)

於是，TF = a - b = a - x + y\frac{dx}{dy}。

易知 PF = \sqrt{(x - a)^2 + y^2}，從而得出

a - x + y\frac{dx}{dy} = \sqrt{(x - a)^2 + y^2}

現在要解微分方程。由對稱性，我們不妨只考慮 y > 0。

上式可變為

y\frac{dx}{dy} = \sqrt{(\frac{x - a}{y})^2 + 1} + (\frac{x - a}{y})

命 u = \frac{x - a}{y} \Rightarrow u + y\frac{du}{dy} = \frac{dx}{dy}，上式進一步變為

y\frac{du}{dy} = \sqrt{u^2 + 1} + u
\Rightarrow \int \frac{du}{\sqrt{u^2 + 1}} = \int \frac{dy}{y}
\Rightarrow \ln (u + \sqrt{u^2 + 1}) = \ln y + C_1
\Rightarrow \frac{u + \sqrt{u^2 + 1}}{y} = C （C 是正數）
\Rightarrow Cy - u = \sqrt{u^2 + 1}
\Rightarrow C^2y^2 - 2Cuy = 1
\Rightarrow C^2y^2 - 2C(x - a) = 1
\Rightarrow y^2 = \frac{1}{C^2}[2C(x - a) + 1]

可見，我們解出的方程，正代表著拋物線（注：當 C = \frac{1}{2a} 時，我們得出 y^2 = 4ax）。

後記：過程中得出 (*)，其實也不是一開始是這樣。我解題的時侯，由 \frac{y}{x-b} = \frac{dy}{dx} 就是先得出 b = x - y/(\frac{dy}{dx}) 從而得到

y[1 - (\frac{dy}{dx})^2] = 2(x - a)\frac{dy}{dx}

這條比較難解的式子。同學，你會嘗試破解它嗎？

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  2. […] 製圖／陳俊宇 Source：影片截圖/文章圖片 […]

    通告 由 到了東京就是要玩數學──《數感日本參訪團景點介紹》（上） - PanSci 泛科學 — 2019/09/03 @ 3:00 下午 | 回應


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