Quod Erat Demonstrandum

2009/12/14

拋物線的某特性

十一月初教圓錐曲線。一早已受公開試的指揮棒教導:這個題目不用放大多時間。以下是某堂的板書,同學也有印象嗎?

其中談及拋物線,我順便輕輕帶出:形狀為拋物線的凹面鏡(concave mirror)有幾何好處,就是把光源置於焦點(focus),光線會平行地反射出來的,故探射燈鏡面通常是拋物線旋轉面云云…見

這是我中三時學的物理知識,但中七同學立即道:「concave mirror 已是 out-of-syllabus(AL Physics)了。」

當然一提 out-of-syllabus,我立即收口,為照顧學習差異,唯有在網誌談談。

問題一:參下圖,設 F(a,0) 為拋物線 y^2 = 4ax 的焦點(其中 a > 0),證明反射光線(比如 PQ)平行拋物線之對稱軸。回答這個問題是容易的,起碼,它是屬於過往(2001 年以前)中學會考範圍。

我們希望證明:對拋物線上任何一點 P(at^2,2at)FP 的反射線 PQ 平行 x-軸。

PT 為切線(tangent),PR 為法線(normal),由光的反射定律「入射角等於反射角」,易知

\angle RPQ = \angle RPF

不難知:\angle RPF = \angle PRF

(這是因為 FP = FR,為何?由拋物線的幾何定義,動點 P 和準線(directrix)x + a = 0 的距離(即圖中顯示線段 SP 的長度)恆等於 P 和焦點的距離。即 SP = FP。不難知 SP = at^2 - (-a) = at^2 + a。另外,不難得 R(2a + at^2,0),故 FR = 2a + at^2 - a = at^2 + a,立知 SP = FR,也即是說 FP = FR。)

\angle RPQ = \angle PRF,即 PQ // FR

問題二:是否任何滿足「把光源置於某定點,光線會平行地反射出來」的鏡面都必然是拋物線?

= = = 停一停,想一想 = = =

回答這個問題,要解微分方程,修應數的同學可以看看。

參考上圖。設要求圖象的方程為 y = f(x)。動點 P(x,y)。圖中的藍紅線分別是在 P 處的切線及法線。由「入射角等於反射角」,知 \alpha = \beta;由反射光線平行 x-軸,得 \alpha = \gamma,故 \beta = \gamma,即 PF = TF

PT 的斜率為 \frac{dy}{dx},故 \frac{y}{x-b} = \frac{dy}{dx}。得

b = x - y\frac{dx}{dy} …………(*)

於是,TF = a - b = a - x + y\frac{dx}{dy}

易知 PF = \sqrt{(x - a)^2 + y^2},從而得出

a - x + y\frac{dx}{dy} = \sqrt{(x - a)^2 + y^2}

現在要解微分方程。由對稱性,我們不妨只考慮 y > 0

上式可變為

y\frac{dx}{dy} = \sqrt{(\frac{x - a}{y})^2 + 1} + (\frac{x - a}{y})

u = \frac{x - a}{y} \Rightarrow u + y\frac{du}{dy} = \frac{dx}{dy},上式進一步變為

y\frac{du}{dy} = \sqrt{u^2 + 1} + u
\Rightarrow \int \frac{du}{\sqrt{u^2 + 1}} = \int \frac{dy}{y}
\Rightarrow \ln (u + \sqrt{u^2 + 1}) = \ln y + C_1
\Rightarrow \frac{u + \sqrt{u^2 + 1}}{y} = CC 是正數)
\Rightarrow Cy - u = \sqrt{u^2 + 1}
\Rightarrow C^2y^2 - 2Cuy = 1
\Rightarrow C^2y^2 - 2C(x - a) = 1
\Rightarrow y^2 = \frac{1}{C^2}[2C(x - a) + 1]

可見,我們解出的方程,正代表著拋物線(注:當 C = \frac{1}{2a} 時,我們得出 y^2 = 4ax)。

後記:過程中得出 (*),其實也不是一開始是這樣。我解題的時侯,由 \frac{y}{x-b} = \frac{dy}{dx} 就是先得出 b = x - y/(\frac{dy}{dx}) 從而得到

y[1 - (\frac{dy}{dx})^2] = 2(x - a)\frac{dy}{dx}

這條比較難解的式子。同學,你會嘗試破解它嗎?

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