Quod Erat Demonstrandum

六月 26, 2009

閒談一些基本東西：導數符號，函數，解釋

Filed under: Additional / Applied Mathematics, HKALE, HKCEE, Pure Mathematics — johnmayhk @ 11:22 am
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1. 高階導數的符號

同學問，為何 D 兩次（即求二階導數）的符號是

\frac{d^2y}{dx^2}

而不是

\frac{dy^2}{dx^2}　或　\frac{d^2y}{d^2x}？

記得 CJ 老師曾經出上面的來考同學。

我不知其來源，只是靠估兼無聊地說：

比如求 y 的導數（w.r.t. x），我們可以表達成 \frac{d}{dx}y，這個 \frac{d}{dx} 可視為運算子（operator）。

求 y 的二階導數，即 \frac{d}{dx}(\frac{d}{dx}y)，我們可以想像為：運算子作用在 y 兩次。循運算子的看法，\frac{d}{dx}(\frac{d}{dx}y) 可表為 (\frac{d}{dx})(\frac{d}{dx})y，於是，它看起來「好像」「二次方」的運算（當然不是真的二次方啦！），借用一下「二次方」的記法，即 (\frac{d}{dx})^2y，於是自然地，寫它為 \frac{d^2}{dx^2}y，或曰 \frac{d^2y}{dx^2} 是也。一般地，由記法 (\frac{d}{dx})^ny 得 \frac{d^ny}{dx^n}。

2. 不定義的函數

有沒有聽過以下的句子？

「證明函數 f 是有定義（well-defined）」
「這個函數 f 沒有定義」
…

現在中一已經引入函數的概念，同學對函數相信也能了解一二，但上述句子，有沒有問題？

純數課告訴我們，如果關係（relation）f 被稱為函數，那麼 f 必然是有定義的。那麼「證明函數 f 是有定義」這說法好像有點問題，「這個函數 f 沒有定義」也有點奇怪。

比如設 f(\frac{a}{b},\frac{c}{d}) = \frac{a+c}{b+d}，其中 a,b,c,d 為正整數。

這個 f 的運算，就是小學生發明的神奇分數加法！這是學分數加法時的一個「難點」。

看看 f 這個東西，明顯地，它不是函數，因為它不符合：「一個輸入，一個輸出」，例如

f(\frac{1}{2},\frac{3}{4}) = \frac{1+3}{2+4} = \frac{2}{3}
f(\frac{2}{4},\frac{3}{4}) = \frac{2+3}{4+4} = \frac{5}{8}

同樣輸入 (\frac{1}{2},\frac{3}{4}) 及 (\frac{2}{4},\frac{3}{4})，輸出迥異。

f 不是函數（function），那麼我們如何稱呼這些 f？Gower 提議用 “gunction” 這個字，有興趣有耐性的同學，不況看看以下文章，特別是讀者回應部分：

http://gowers.wordpress.com/2009/06/08/why-arent-all-functions-well-defined/

3. 解釋和簡略地解釋

在數學考題，著學生 Explain 和 Explain briefly 有沒有分別？如何界定一個「解釋」，真的是一個有效的解釋？肯定不是字數。

比如，試簡略解釋：「設 Z ~ N(0,1)，當區間 (p,q) 的長度（width）固定，則當 p = -q 時， P(p < Z < q) 的值最大。」

如果單單說一句：從常態分佈的圖像得之。那麼，可否視它為「簡略地解釋」？

雖然這不是百分百錯誤的解釋，但這似乎不算有效的解釋，起碼，究竟從常態分佈的圖像的什麼（特性）得之？

設區間 (p,q) 長度固定為 2k（k > 0）。把圖像畫出如下

20090626gif01

當 (p,q) 置中，即 p = -k, q = k，P(p < Z < q) = A，把 (p , q) 右移一些，如圖所示，則在新的位置，P(p < Z < q) = A + b - a，由常態分佈的圖像，可見 a > b，即區間在新位置對應的新概率（面積）A + b - a 比區間置中時對應的概率 A 少。

大家覺得這是不是一個有效解釋？是簡略解釋嗎？有沒有漏洞？

我也頗喜歡擬要學生解釋的題目，但當中涉及一些似乎不純為數學的問題，比如界定解釋的有效與否，除了運算能力，更難的可能是溝通能力。

數學人喜歡的，相信是冰冷無誤語言：

設 f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{x}^{x+2k}\exp(-z^2/2)dz
f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}(\exp(-\frac{(x+2k)^2}{2}) - \exp(-\frac{x^2}{2})) = 0 \Rightarrow x = -k
因 f''(-k) < 0，故當 x = -k，f(x) 達到最大值。

相信這肯定較之前的解釋有效，但簡略嗎？

4個回應 »

  1. 呀sir呀,我想問circle o個條式算唔算係一個function?

    Comment by Carmen — 八月 13, 2009 @ 12:29 pm | Reply

  2. 不能單單「看條式」來判斷它是函數與否。

    我們還要考慮「定義域」（domain）和「上域」（codomain），分別「好像」機器的「輸入」和「輸出」。

    讓我以最粗疏的言語解釋。

    比如

    y = \frac{1}{x} 是不是函數（function of x）？

    不能回答。

    例如，輸入的數值（即 x）是非零（即定義域為 x \ne 0），且輸出的數字（即 y）也規定是非零（即上域是 y \ne 0），我們才可說 y 是 x 的函數。

    但若果輸入的數值沒有「非零」這個規定，則我們不能說y 是 x 的函數，因為當 x = 0 時，y 是無定義（undefined）。

    又或者，雖然定義域為 x \ne 0，但若我們規限上域為 y > 0，則我們也不能說 y 是 x 的函數。因為，例如輸入 x = -2，應該得 y = -\frac{1}{2}，但因我們規定了 y > 0，即是說當 x = -2，我們「計唔到」y（的數值）。

    再拿你問的圓形方程做例，x^2 + y^2 = 1 是函數嗎？現階段不能回答，但當規定了

    定義域為 -1 \le x \le 1，且上域為 y \ge 0，那麼，y 確實是 x 的函數。

    但若定義域和上域分別是「任何實數」，那麼上述表達的 x 和 y 關係，就不是函數，比如輸入 x = \frac{1}{2}，y = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}，出現多於一個「輸出」，故它不是函數。

    Comment by johnmayhk — 八月 13, 2009 @ 5:59 pm | Reply

  3. 咁點解書上面冇做到考慮「定義域」和「上域」既?

    仲有係唔係所有既式經過考慮「定義域」和「上域」都可以成為函數架?

    唔該呀sir^_^

    Comment by Carmen — 八月 13, 2009 @ 7:03 pm | Reply

  4. >係唔係所有既式經過考慮「定義域」和「上域」都可以成為函數架?

    暫時答不出，我還在思考「所有既式」這個說法是否有定義。

    >點解書上面冇做到考慮「定義域」和「上域」既?

    或許是教學（而非純粹是數學）上的考慮。

    好比化學中的原子模型，學習過程「由粗疏到精確」，「相信」是有利學習者掌握概念。

    其實純數的教科書必有提及函數的定義，你雖是中四五生，但相信看純數的東西問題不大。

    Comment by johnmayhk — 八月 13, 2009 @ 7:43 pm | Reply


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