1. 高階導數的符號
同學問,為何 D 兩次(即求二階導數)的符號是
而不是
或 ?
記得 CJ 老師曾經出上面的來考同學。
我不知其來源,只是靠估兼無聊地說:
比如求 的導數(w.r.t. x),我們可以表達成 ,這個 可視為運算子(operator)。
求 的二階導數,即 ,我們可以想像為:運算子作用在 兩次。循運算子的看法, 可表為 ,於是,它看起來「好像」「二次方」的運算(當然不是真的二次方啦!),借用一下「二次方」的記法,即 ,於是自然地,寫它為 ,或曰 是也。一般地,由記法 得 。
2. 不定義的函數
有沒有聽過以下的句子?
「證明函數 f 是有定義(well-defined)」
「這個函數 f 沒有定義」
…
現在中一已經引入函數的概念,同學對函數相信也能了解一二,但上述句子,有沒有問題?
純數課告訴我們,如果關係(relation)f 被稱為函數,那麼 f 必然是有定義的。那麼「證明函數 f 是有定義」這說法好像有點問題,「這個函數 f 沒有定義」也有點奇怪。
比如設 ,其中 為正整數。
這個 f 的運算,就是小學生發明的神奇分數加法!這是學分數加法時的一個「難點」。
看看 f 這個東西,明顯地,它不是函數,因為它不符合:「一個輸入,一個輸出」,例如
同樣輸入 及 ,輸出迥異。
f 不是函數(function),那麼我們如何稱呼這些 f?Gower 提議用 “gunction" 這個字,有興趣有耐性的同學,不況看看以下文章,特別是讀者回應部分:
3. 解釋和簡略地解釋
在數學考題,著學生 Explain 和 Explain briefly 有沒有分別?如何界定一個「解釋」,真的是一個有效的解釋?肯定不是字數。
比如,試簡略解釋:「設 ~ ,當區間 的長度(width)固定,則當 時, 的值最大。」
如果單單說一句:從常態分佈的圖像得之。那麼,可否視它為「簡略地解釋」?
雖然這不是百分百錯誤的解釋,但這似乎不算有效的解釋,起碼,究竟從常態分佈的圖像的什麼(特性)得之?
設區間 長度固定為 ()。把圖像畫出如下
當 置中,即 ,,把 右移一些,如圖所示,則在新的位置,,由常態分佈的圖像,可見 ,即區間在新位置對應的新概率(面積) 比區間置中時對應的概率 少。
大家覺得這是不是一個有效解釋?是簡略解釋嗎?有沒有漏洞?
我也頗喜歡擬要學生解釋的題目,但當中涉及一些似乎不純為數學的問題,比如界定解釋的有效與否,除了運算能力,更難的可能是溝通能力。
數學人喜歡的,相信是冰冷無誤語言:
設
因 ,故當 , 達到最大值。
相信這肯定較之前的解釋有效,但簡略嗎?
呀sir呀,我想問circle o個條式算唔算係一個function?
迴響 由 Carmen — 2009/08/13 @ 12:29 下午 |
不能單單「看條式」來判斷它是函數與否。
我們還要考慮「定義域」(domain)和「上域」(codomain),分別「好像」機器的「輸入」和「輸出」。
讓我以最粗疏的言語解釋。
比如
是不是函數(function of )?
不能回答。
例如,輸入的數值(即 )是非零(即定義域為 ),且輸出的數字(即 )也規定是非零(即上域是 ),我們才可說 是 的函數。
但若果輸入的數值沒有「非零」這個規定,則我們不能說 是 的函數,因為當 時, 是無定義(undefined)。
又或者,雖然定義域為 ,但若我們規限上域為 ,則我們也不能說 是 的函數。因為,例如輸入 ,應該得 ,但因我們規定了 ,即是說當 ,我們「計唔到」(的數值)。
再拿你問的圓形方程做例, 是函數嗎?現階段不能回答,但當規定了
定義域為 ,且上域為 ,那麼, 確實是 的函數。
但若定義域和上域分別是「任何實數」,那麼上述表達的 和 關係,就不是函數,比如輸入 ,,出現多於一個「輸出」,故它不是函數。
迴響 由 johnmayhk — 2009/08/13 @ 5:59 下午 |
咁點解書上面冇做到考慮「定義域」和「上域」既?
仲有係唔係所有既式經過考慮「定義域」和「上域」都可以成為函數架?
唔該呀sir^_^
迴響 由 Carmen — 2009/08/13 @ 7:03 下午 |
>係唔係所有既式經過考慮「定義域」和「上域」都可以成為函數架?
暫時答不出,我還在思考「所有既式」這個說法是否有定義。
>點解書上面冇做到考慮「定義域」和「上域」既?
或許是教學(而非純粹是數學)上的考慮。
好比化學中的原子模型,學習過程「由粗疏到精確」,「相信」是有利學習者掌握概念。
其實純數的教科書必有提及函數的定義,你雖是中四五生,但相信看純數的東西問題不大。
迴響 由 johnmayhk — 2009/08/13 @ 7:43 下午 |
你好,我諗緊二階導數符號既問題,搵到呢個網,我數學唔叻,我既睇法唔知有冇錯,希望老師評一下,謝謝。
dx 其實係 △x->0 所以dx 唔係 x既函數
因此 d(dy/dx)除dx 入面既1/dx 可以當係常數c 處理
= (1/dx)*d(dy)除dx = d(dy)除(dx)^2
所以(dx)^2 呢項個意思係唔係真係解二次方而唔係其他符號?
迴響 由 curry — 2017/07/27 @ 2:34 下午 |