和中七同學溫書,偶遇科主任擬的精采題目,同學也感巧妙。題中一小部分出現了一個「結果」,見下。
設
求多項式 (視 為常數)內 的係數及常數項。
這是機械運作,不值一顧,詳表如下:
故 的係數是 ,
常數項則是 。
題目的發展是要學生觀察到上述兩式存在「巧妙」的關係,就是:
咦, 這個變換,幾何上有平移的意思,何解它和求導(finding the derivative)存在上述關係?必然是這樣嗎?
= = = 停一停,想一想 = = =
其實,沒有什麼奇怪,當大家同時觀察 及 的係數,所謂導數關係仍然存在,見
呼之欲出,所謂奇怪關係,不過是泰勒展式中的係數和求導之密切關係而已。
未聽過泰勒展式也沒關係,讓我炒作一下。
除了直接「爆破」,我們起碼還有兩個方法拆開 。
設
………… (*)
其中 是有待找尋的係數。
(*) 中,代入 ,得
這豈不就是說明,常數項 ,就是 ,即
是也。
對 (*) 求導(differentiate (*) w.r.t. ),得
………… (**)
代入 ,上式變成
這豈不就是說明, 的係數 ,就是 ,即
是也。
類似地,不斷「求導代 」,不難得到
這樣,我們不過是重遇(re-visit)以下結果:
設 為 degree n 的多項式,則
上面是用求導法拆開 ,我們也可利用綜合除法(比求導法還快)解之,參考下文「應用」的例三:
https://johnmayhk.wordpress.com/2008/10/07/discussion-on-quotient-remainder-2-2/
另外,差分法和求導也有密切關係,有時間發掘一下,拜拜!
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