有關雙曲線的兩件事

雙曲線（hyperbola）的貫軸／橫截軸（transverse axis）之定義如何？

設 為正數。

教科書及較舊的純數參考書記：對於方程為 的雙曲線，其圖象如下：

（圖片來源：維基）

設雙曲線交 -軸於 ，則線段 就是橫截軸，且橫截軸的長度是 。（見上圖）

但維基的資料顯示，橫截軸是連接焦點 的直線 ，既是直線，長度就是無限。

大家有何意見？個人感受：「軸」，諸如 -軸、對稱軸，長度如何？重要不大。所以偏向相信橫截軸是直線而非線段。

談到雙曲線，這裡有一道題：1993 AL Pure Math (II) Q.9 見下

最後結果（即 (b)(ii)）是證明 共圓。

要代數地證明四點共圓，可利用行列式（determinant），見下：

( , ), ( , ), ( , ), ( , ) 四點共圓當且僅當

為什麼？怕同學忘記，溫習一下。

「( , ), ( , ), ( , ), ( , ) 四點共圓」，換言之，存在圓形（設）其方程如下：

使 ( , ), ( , ), ( , ) 並( , ) 皆滿足上式。

亦即

現在「反客為主」，視 為未知數（unknowns），其他的 為定值，那麼 () 就可視為以下線性方程組的解：

注意到上述方程組是齊次（homogeneous）的，又存在非平凡解（non-trivial solution）()，由克萊瑪法則（Carmer’s rule），知

香港的中學同學或質疑，克萊瑪法則可否應用在 4 階行列式（determinant of order 4）？因為香港課程只涉及 3 階和 2 階的。

是，我們要弄清楚。起碼要展開 4 階或以上的行列式，不能運用Rule of Sarrus。

正本清源，略談克萊瑪法則之來源。

先考慮 3 未知數 3 等式之情況。

設線性方程組為

設 分別是 的餘因式（cofactors）。

把上述方程組的第 式分別乘以 （），得

加起三式，得

同理得

類似推廣，知克萊瑪法則亦可應用到更高階的情況。

好，回歸那道 AL 題目，不難知

其中 是離心率 eccentricity，對雙曲線來說，。

現在，利用行列式檢驗一下它們是共圓否，見：

見第四列（column）全是 1，易於「造零」，得：

沿第四列展開，得

沿第三行（row）展開，得

最後一個等式為＂＂所致。

亦即，該四點共圓。

P.S. 這是代數的方法，那麼幾何的呢？