承上次的討論,我們以所謂『新減舊後第一個負座標』來標號,滿足 Sperner 引理的標號要求。現在進入『最後階段』。
直觀而粗略地,我們知道『三角化』的過程可以製作出非常細的小三角形。精確一點,我們起碼存在以下一種『三角化』的過程,使所有細三角形的邊都『要幾細,有幾細』。只要每一步,把細三角形的邊取半便可,情況如下:
第一步
設大三角邊長為 ,則細三角邊長 =
第二步
細三角邊長 =
如此類推,在第 步,細三角的的邊長 = 。可見,只要步驟夠多(即 足夠大),細三角形的邊長可以愈來愈少( 0 as ) – – – – – – (*)
設每一步,我們用所謂『新減舊後第一個負座標』,替加進去的點標號。那麼,由 Sperner 引理,必存在以『123』為頂點的小三角形。
現在構作一個點列(Sequence of points)如下:
在第一步中,找其中一個以『123』為頂點的細三角形,稱該頂點『1』為 ;
在第二步中,找其中一個以『123』為頂點的細三角形,稱該頂點『1』為 ;
…
在第 步中,找其中一個以『123』為頂點的細三角形,稱該頂點『1』為 。
如此,我們製作了一個點列 {}。
問:這個點列是收歛於一點(converges to a point)嗎?不一定。但一定存在一個收歛的子列(convergent subsequence)。嗯,讓我為中學的同學解釋一下。
設一數列 {},所謂子列,就是 {} 的子集 (subset),比如 {}。
在數學分析中,我們有一個很初等的定理:存在於某閉區間內的數列 {}(即 {} [])必然存在收歛的子列。
比如 {} 這個數列,存在於閉區間 [-1,1] 內。明顯,該數列本身並不收歛,但它卻存在收歛的子列,就是 {1,1,1,…} 和 {-1,-1,-1,…},它們分別收歛於 1 和 -1。
把『存在收歛子列』這事實,由數列擴充到點列的情況,就是說,上圖(紅色的)點列存在於大三角 中,這大三角是個閉而有界的集(closed and bounded set),我們便知存在收歛的子點列 {} {}(為何會存在收歛子點列?大概可以想,紅點列的各座標不過是數列,即存在收歛的 x-座標子數列,考慮這個 x-座標子數列對應的 y-座標數列,也存在收歛的 y-座標子數列,於是 {} 存在收歛的子點列也。)
好了,既知點列 {} 收歛,設
為清楚起見,把 和 的三個座標寫出,即設
及
還記得 是什麼嗎?它其實是某個以『123』為頂點的細三角形標號為『1』的那頂點,不要忘記,我們還有在該三角形標號為『2』和『3』的頂點,分別稱該兩點為
當 接近無窮大,細三角形的邊長接近零 (by (*)),即
因 是連續函數,故此
亦即
因 分別標號為『1』,『2』和『3』,故
取 ,並由 的連續性,得
又因在 上的任何一點,其座標和是 1,故
及
即
上式三括弧都是非負量,立即知道
換句話說,
和原設定『不存在不動點』有矛盾,亦即不動點確實存在。
只要知道 同構於 (2 維球體) ,我們便推出著名的不動點定理:設連續函數 ,則 在 上存在不動點。
SBA 時間:
(1)試具體地定義一個非常的連續函數 並找出一個不動點。
(2)試具體地定義一個函數 使不動點不存在。
參考資料及延伸閱讀:
1.《Sperner 引理及其應用》潘建強及邵慰慈
2.《世界數學名題欣賞:不動點定理》張奠宙及顧鶴榮
3. http://www.hkedcity.net/ihouse_tools/forum/read.phtml?forum_id=27877¤t_page=&i=913725&t=913723
4. 印象中還有一篇是張景中院士的短文,題目好像是『老鼠不能逃避貓』云云,也是討論有關不動點的特例。
好像有點草草收場,都是說到這裡,有機會再談多些。
你好,John Sir…
唔知我係邊個都冇問題…
上面既一切我都唔識…
不過只係想俾你睇D野…
睇過都冇咩所謂…
____is better than the god. (____比上帝更好。)
____is worse than the evil. (____比恶魔更坏。)
if you eat____,you will die. (如果你吃____,那么你就会死!)
(三个空格必须是同一个字)
没有人答的出来
结果。。。。。。
有一个数学老师用数学的方法解出来了 :
设上帝之善是+∞
恶魔之恶是-∞
令所求为x
则 x>+∞ x<-∞
∴x属於空集合
∴x=nothing
answer:
nothing is better than the god.(没有什么比上帝更好。)
nothing is worse than the evil.(也没有什么比恶魔更坏。)
if you eat nothing,you will die(如果你什么也没有吃,那么你就会死!)
迴響 由 路人鏗 — 2008/04/20 @ 10:25 下午 |
To 路人鏗
雖然我已看過你貼的內容,再看一次也無妨,這是好的提醒。
同學看不明我說什麼,代表我的學力和表達力有待改進,我會努力的。好奇問問:你是『濟記人』嗎?
迴響 由 johnmayhk — 2008/04/21 @ 10:51 上午 |