利用圖像尋找非實根

在高中一 NSS 數學課，我開始教二次圖像和二次方程之根（roots）的關係。現在課程涉及複數，卻沒有教如何利用圖像尋找複根（complex roots）或非實根（unreal roots），我在此補充一下。

以下是在下用極速粗製濫造的 ETV，同學先看看：

解說：

逆函數未必連續

函數 連續，並不保證逆函數 也連續。

(在定義兩個拓樸空間同胚（homeomorphic）時，就是要求他們之間存在一一對應的連續函數 ，並 也要連續。)

舉例，設 並 （即 不過是 中的 unit circle）定義 使 ，一看下圖，立即知道 不連續。

Different formats of primitive functions

Just take a rest from work, type something boring here…

Students, you may regard the above as a formula or derive it by using trigonometric substitution every time.

As you may know that the expression of a primitive is not unique, we may have other forms being a primitive of , say

拼出 $100

老題：利用面值 $10，$20 及 $50 紙幣若干張，要拼出 $100，問有多少組合方式？

可以拿 2 張 $50 紙幣，這是一種組合；
可以拿 3 張 $10，1 張 $20 及 1 張 $50，這是另一種組合；
……

那麼，共有多少種可能的組合？

這篇為承接昨天的發帖

Finding general term by generating function

It is extremely easy to set up questions on number pattern, like

1, 3, 8, 19, 42, 89, ?

for more details, we may tabulate the question as:

the question is, when , what is the value of ?

My first reply to such kind of question is

“no need to do”

[FW][YouTube] 維度 數學漫步 Dimensions Tour

More at
http://www.youtube.com/view_play_list?p=ED4CEC2CC684DDDD

計到即存在?

初中時教解二次方程，我通常順便說一個無聊的例：

= ?

要求出「答案」，我們可設

閒談一些基本東西：導數符號，函數，解釋

1. 高階導數的符號

同學問，為何 D 兩次（即求二階導數）的符號是

而不是

　或　？

考試前後

前

考中二數學前夕，梁同學致電問數。我都「好野」，一邊行街赴父親節宴會，一邊做數講數。

問題太多，晚上回家，梁同學再問下半場。

他問什麼中二數學問題？列幾個：

1. Factorize .
2. 把 8 cm * 10 cm 長方形一對角（opposite angles）摺疊，求摺痕長度。
3. 二進制轉和十六進制的直接互換方法。
…

等等。

後

應用純數

有人強調數學在生活中的應用，有人指出所謂「數學在生活中的應用」是牽強的。經驗使我比較贊成後者。

無論如何，以趣味的角度向學生介紹（所謂的）數學在生活中應用的例子，或許可以達到某些教學的成效。

讓我在這裡介紹一個「偽應用」吧，起碼三本數普書籍有記載此例。

修純數的同學定會接觸介值定理：

設 f 為定義在 [a,b] 上的連續函數，已知 f(a)f(b) < 0，則在 (a,b) 內存在 c 使 f(c) = 0。

這個定理有沒有生活應用例子？嗯，或許有，見下：

今有方桌子一張，四條腿等長。若把桌子放於凹凸不平但平滑的地面上，證明一定存在某個位置，使四條腿同時著地。

橢圓規

不知有沒有授課員用過橢圓規這個教具？（實情我不知這名稱是否正確，網上找到 Ellipsograph 這個字，不知是否橢圓規的正確英文名稱。）

我「靜靜雞」用科組錢買了一個，操作見下：

溫書題

這是溫書時期。

1. 有關數列的題目

這是校內 2007-2008 年度純數期終試其中一題：
=======================================
Let {} be a sequence of positive integers. Define sequences {} and {} as
. ()
. ()
Let . ()

Show that .
=======================================

數數唸

一．

以下數字是「旋轉對稱」的嗎？

1961

純數小技

一．Chain rule 秘技：不要忘記「D 那星」

在下師承我的啟蒙中學教師馬 sir，他喜歡用星星 代表一個 expression，比如要求

不妨視 為一個 expression，以 　代之，曰

一些有關不能使用 l’Hôpital’s rule 的例子

昨天和同事討論 l’Hôpital’s rule，我就是忘記了一個例子，以說明就算運用 l’Hôpital’s rule 找到 （有限值），它也未必等於 ，今早補貼一下：

Trivial reflection of mathematics teaching

Pure Mathematics is a subject of mathematical “techniques”. It provides students with certain tools and procedures to solve certain mathematical problems.

However, for me, Pure Mathematics is a subject of “art”.

“Techniques” can be taught, while “art” cannot be taught easily.

可導性

這是有關「可導性」（differentiablity）的討論，寫給那天沒有上復活假期補課班的中六同學。注：討論純粹以中學數學的觀點出發。

先請同學回答下面三道是非題：

1. Put into the expression of and it is undefined, then is not differentiable at . True?
2. If , then is differentiable at . True?
3. If is finite, then the value of is also finite. True?

純數生活例子（無聊篇）

中四數學教科書中，有關於圓的切線（tangent）之主題，當中舉了一個「生活例子」：太陽從海面初升，代表了圓形交直線於兩個不同點；當整個圓形剛剛從海面出現，就是直線切圓於一點的情況云云。

Simple questions about mean value theorem

For your revision, students.

Question 1

Suppose f(1) = f(2) = 0, f(3) = 1 and f is twice differentiable on [0,3].

Show that

for some .

Question 2

Suppose f(0) = 0, f(1) = 1, f is differentiable on [0,1].

Show that

for some .

大數值的乘階

中四同學在學期初已接觸乘階（factorial） 的運算。比如

理論上，這個正整數 ，可以「要幾大，有幾大」；但實際上，我們日常接觸的運算工具，必有其限制；用 EXCEL 2003，只可以算出的最大乘階是

這個數字有多大？

Just a question about limit of elementary function

The following theorem appears in secondary school pure mathematics textbook.

Let be an elementary function. If is well-defined, then

Fine. Then a student, chan, asked,

How about ? Is it an elementary function?

Continuity of composite functions

It is well-known that the following is NOT true in general,

Just give an example, let

Limit of tan(x)/x

When introducing the following ‘important’ limit to F.6B boys,

,

I added the following question

= ?

boring discussion on limit of sequence

Here is just a typical, basic, level-zero question about the limit of sequence for formative assessment.

Let , for .

(a) Given that , show that .

(b) By squeezing principle, show that .

Asymptotic Behavior of Solutions to Linear Equations

Apart from the interesting article in the last post, Justin also sent me the following interesting question:

Consider

– - – - – - (E)

where the constant is positive and is continuous on [).

卡爾松（Carleson）不等式

Carleson first inequality

Let , then

Carleson second inequality

Let , then

沒有額外添加的人工化前提，得出不平凡的結果。

證明

Something about F.6 Pure Math First Term Exam

Here is one of questions:

Given that

()

Prove that

(a)
(b)

The question requires students to use mathematical induction to prove that.

I’d like to give another ways.

(method 1)

證明不等式的基礎招式 (Part 2)

招式七：算幾不等式

e.g. 11 For any positive integer , show that

利用 Taylor’s theorem 證明 AM >= GM

設 為 個正數，命 ,

證明不等式的基礎招式 (Part 1)

證明不等式的招式繁多，難以窮盡，聊舉數例，全屬基礎技術，以作溫習之用，高手見諒。

招式一．基本功

欲證

可試證：

，或

Create an m.i. question

It is not difficult to create questions like:

Prove by mathematical induction that

講座簡報：常見的不等式及奧數解題範例

昨晚出席了岑嘉評教授主講，題為【常見的不等式及奧數解題範例】的公開講座。原來荃濟的趙老師，帶了廿多位同學一起出席。我就忘了報名，早上急忙傅真報名表，一支公出席。

在教育局九龍塘教育服務中心西座四樓演講廳，可說是座無虛席。

上次聽岑教授演講，是關於「多項式費馬大定理的簡單証明」，但對他的印象，仍然是我當年在中大旁聽他的代數課：Ideal theory。昨晚，他

用 EXCEL 玩 Matrix

TA 哥哥在教員室玩完魔術 （可能是 rock sir 教的魔術），主動教我用 EXCEL 玩 matrix，我學了，教大家。修 pure mathematics 的同學，留意。

1. 行列式（determinant）

計 ，我們可在 EXCEL 工作表輸入

Assuming step in mathematical induction

Just share a minor point in the presentation of M.I.

To prove that a proposition P(n) is true for all positive integers n by using M.I.

We need ‘4′ steps, namely

論商餘（二）

有同學問到綜合除法（synthetic division）之原理，讓我詳述之。

本文共分四部份：
一、算法
二、原理
三、推廣
四、應用

比較係數

以下是一道簡單的短題。

設 （），滿足 ，求 的值。

論商餘 (一)

所謂「商」「餘」乃 quotient 及 remainder 是也。這個 post 只是一些有關除法的簡單討論。

利用插值法找餘式

近日，中六純數課談的是餘式定理，中七的應數課談的是插值法，恰巧，兩者有一點點關聯。

什麼是無限

舊討論區有網友問：「什麼是無限？」我想答：「非有限也。」

純數習題：代數數

中六純數課，談了 proof by contrapositivity 和 proof by contradiction 的分別，再談證明「質數有無限多個」的簡單方法（同學，另外一些證明方法可見舊文：數學閒聊：素數有無限多個）以顯示反證法之威力。隨即，做習題，其中有一題是證明

是代數數（algebraic number）。

今年的第一堂課

第一堂上 Pure Mathematics，當說了什麼是有理數（rational numbers）後，我說：「那麼什麼是無理數（irrational numbers）？不是有理數就是無理數。」錯！

重排 rearrangement (part 2)

要解釋上次介紹有關重排的「怪」現象，讓我由小學生也可能接觸過的

1 – 1 + 1 – 1 + 1 – …

開始。之前在下也討論過，現在集中看有關重排的討論。

重排 rearrangement (part 1)

1 + 2 + 3 等於多少？6 也。

如果把上述 3 個數字『重排』（rearrange），比如

2 + 1 + 3 又等於多少？吓，無聊透吧，不也是 6 嗎？

這裡，『重排』不會影響『答案』，常識也。嗯，數學人知我想說什麼了，就是當項數是無限時，小心，有時『重排』的確可以影響『答案』的，且看以下經典例子，它往往以謎題的形式出現：

Painter’s paradox

放榜日，註冊時，準中六生 Hoover 問我一個積分的問題，那似乎是一個很著名的 Paradox：painter’s paradox

有看數普材料的諸君不會陌生，這 paradox 的大意是，數學世界存在一個奇怪的喇叭，它的容量有限，但其內壁的表面面積卻是無限。詳情可看看維基的介紹：

Gabriel’s Horn (also called Torricelli’s trumpet)

中華民族會滅亡嗎？

中華民族會滅亡嗎？放心，這裡不談政治，不存在政治正確與否的問題。我只希望利用數學處理這個問題。想證明，如果「一孩政策」長此下去，並落實在全球華人群族中，則問題的答案是肯定的。嗯，這似乎是頗「常識」的，但我始終想借其他東西包裝一下數學。

以大數定律證明維爾斯特拉斯定理

伯努利（Jacob Bernoulli）的大數定律，是概率論中的著名定律，略表如下：

婚姻定理

看港台節目《改革開放三十年系列 – 中國新面貌》之《入贅女婿》才知近年國內『入贅女婿』這個『社會現象』頗為普遍。據《說文解字》，「贅，以物質錢，從敖貝，敖者獲放貝，當復取之也。」即是贅，有抵押、交換的意思。男子入贅成婚，就是以身作『抵押、交換』。愈看節目，心中愈有不可名狀的納悶。抽水完畢，還是說數學好了。

組合小談

某班有 30 名學生進行互訪，每個學生在一個晚上可以進行多次出訪。但在客人來訪的晚上，他必須留在家中。
證明：為了使每個學生都訪問了他的每一位同學，七個晚上已經足夠。

Chatting in math

(1) F.2 quiz

To focus on the weakness of algebraic computation, I’d set the following as one of the questions in a F.2 mathematics quiz: any mistake you can find in the presentation?

完美矩形與基爾霍夫定律

下圖顯示一個由 9 個不同大小的正方形拼砌出來的矩形（長方形），當中顯示的數字，代表該正方形的邊長。我們稱由 n 個不同大小的正方形拼砌成的矩形為「n 階完美矩形」，可見，下圖是一個 9 階完美矩形。

證明 Gauss Lucas Theorem

設在阿根圖 (Argand plane) 的兩點 ，分別表示複數 。

那麼，在線段 內的任何一點 ，它對應的複數 一定可以表達成

其中 。

介紹 Gauss Lucas Theorem

提到 Lucas，不知大家會否想到霆鋒和柏芝的兒子？本來想趁他們誕下麟兒時寫，但竟然拖到現在。

這是有關多項式的東西。

如何製作一條多項式，它的零點（zeros）是 和 ？非常簡單，就是

我們可以對 求導（differentiate w.r.t. ），得

。

（這裡，讀中學的朋友要接受一下，雖然多項式的系數有複數存在，我們仍可進行求導，只要視那些複數系數是普通常數便可。）

易知 的零點是

現在問： 的零點和原先 的零點有何關係？

Definition of inflection point

同工 William 君質疑：在 AL 1995 Pure Math (II) Q.9 中，為何 不是 inflection point（拐點，有譯：反曲點、迴折點）？

題目的方程是
where .

的圖像見下

Something about Power Sum

In AL pure mathematics syllabus, we come across the following formulae.

More?

從握手到不動點（三）

承上次的討論，我們以所謂『新減舊後第一個負座標』來標號，滿足 Sperner 引理的標號要求。現在進入『最後階段』。

直觀而粗略地，我們知道『三角化』的過程可以製作出非常細的小三角形。精確一點，我們起碼存在以下一種『三角化』的過程，使所有細三角形的邊都『要幾細，有幾細』。只要每一步，把細三角形的邊取半便可，情況如下：

數學平常談：證某類無理數的小法@濟濟一堂

網友 Koopa 提供了兩個方法證明 是無理數[這（竟）是 2008-AL-Pure Mathematics (I) Q.11(a)]，非常感謝。我也提供兩個方法，相信大多數考生也會想到的。

從握手到不動點（二）

早前解答同學問的一道習題，正是有關『不動點』之例。這例子討論的情況是『一維』的，那麼『高維』的情況，有否所謂不動點之現象？答案是肯定的，不過我不能在此給一般的證明，但特別地，對『二維』的情況，讓我在此簡介以接續上一次討論。

在平面三角形 上，定義連續函數 （所謂自身映射）。證明：存在『不動點』，即在三角形 上，存在一點 ，滿足 。

讓我們可以先考慮一個特別的三角形 （見下）

PM Q

Haven’t seen the 2008 AL Pure Math questions yet, just know a little bit, the following is a 3-mark question in paper I.

Let  be a polynomial such that , determine the degree and the leading coefficient of .

Math gag

8/4 考 Pure Math 了，貼幾幀圖讓大家：鬆一鬆，再上路。

（一）二階數獨

（二）矩陣轉換

從握手到不動點（一）

從握手到不動點（一）

上年，應同學的邀請，我講了一個所謂的數學講座。今年，趁數學周將至，讓我在此也講一些數學。因我希望中一至中七的同學也能看明白，我會盡量詳盡（長氣）地說。

（一）握手定理（Handshaking lemma）

在空間中隨便點一些點，如下

隨意在點與點之間連起線段，如下

這樣，我們得出一個簡單的圖（graph）。對於圖中的每一點，我們可以定義該點的度數（degree），就是有多少條線由該點引出。參考上圖，因有 2 條線段由 A 點引出，故A 點的度數是 2。把上圖每點的度數寫出來，情況如下：

把上圖所有點的度數加起，就是上圖的總度數，即 0 + 1 + 1 + 2+ 3 + 1 + 2 = 10，得到一個偶數（even number）。小習題，試計算下圖的總度數。