又談無聊不等式

如何證明

for all integers

?

第一感覺是，指數函數增長速度比二次函數快，所以上式自然成立。

但高中同學，如何具體證之？

無聊談兩個不等式

自從和純數和附加數說再見後，大部分香港中學生只有解不等式，絕少接觸證明不等式成立的題目。

初中課程內仍有淺嚐三角形不等式的課題，即對於非退化（non-degenerate）三角形，邊長 者

恆有

，　及　

同學，利用 cosine law，我們輕易得出

正弦積

初中同學，請問下式何值？

因為

所以

冇難度。

但

呢？

線長乘積

考慮單位圓內接正多邊形，比如正方形

由某點（比方說 A）出發，連起其他頂點，得出 3 條線段，其長度分別為 2, , ，故乘積（product）為 4。

對於五邊形

由某點出發連起其他頂點，得出 4 條線段，那麼線段長度的乘積如何？

帕斯卡三角某結果

早前貼了下圖

本文談如何推出上述結果。

對於函數 ，

記

記

a question about inequality with derivatives

Question

Let be a polynomial with real coefficients. Prove that if for any real , then for any real .

Solution (elementary)

等邊三角形

中學時遇上一些數題，特別有印象，這次談有關等邊三角形。

e.g. 1

下圖 ，， 皆為等邊三角形

證明 是平行四邊形。

只要看到當中的全等三角形，見下圖紅色者：

最小值

教中三不等式時，跟同學討論過：

已知

我們不能說

的最小值是 3，

除非 真的可以等於 3。

舉一例。

對

帕斯卡三角形某結果

帕斯卡三角形（Pascal’s triangle），好玩。這次玩乘。

去片

證明

三垂線定理

（一）前言

第一次聽「三垂線定理」，大抵是今年二月在大同的群組：

第二次聽「三垂線定理」是

行列式特性

觀同事課，談因式分解行列式（determinant）。

他先給最簡單例子：

Factorize .

我估熟練者很快會把第一行化做 ，再抽之，即

但對剛接解行列式特性的學生，未必如此想。當老師問，有人答

之後

某經典幾何題

三個大小不同的圓，沒有一個完全在另一個之內。對於每兩個圓，可畫出兩條公共外切線（common external tangents），及其交點，即下圖的 P，Q，R。

問： P，Q，R 共線（collinear）嗎？同學可以先探究一下（輕輕地改變 A 和 X 的位置吧～）：

https://www.geogebra.org/m/WPk7sZUJ

（若有興趣知如何構作兩圓的外公共切線，可看文末的附錄*）

第一次接觸此題，大概在 1995 年，看以下數普書：

相同特徵值及凱萊哈密頓

免插聲明：本文只是中學程度的討論，高手見諒。

續上個 post：

https://johnmayhk.wordpress.com/2016/07/22/flf-and-matrix/

　的特徵方程為 ，即

留意上式係數，

就是矩陣 的跡（trace），即對角元的和，也是特徵值的和（sum of roots）；而

就是矩陣 的行列式（determinant），也是特徵值的積（product of roots）。

有時出題目，想弄一個 2×2 矩陣，其特徵值是（比方說）2 和 8，可以先寫

有理函數和矩陣

Core mathematics 介紹過 rational function（有理函數），即形如　　者（其中 及 皆為多項式）。

若 及 皆為線性（linear），即形如　　者，稱之曰 fractional linear function（FLF）。

中四教 function（函數）時，偶談下例，設　，求　。

解之曰

仍舊是 FLF。

現看看 2×2 矩陣

證 Cramer’s rule (無言)

來自 The Mathematics Initiative, Education Development Center 的關於 Cramer’s rule 的無言證明：

兩句：

1.相信為了簡潔，不繪出 及 ，但繪與不繪，無關宏旨。
2.上式 det 計算的是平行六面體體積，而上圖兩個平行六面體之體積明顯相同，故推得結果。

把線性方程組賦予這個圖像意義，美麗！