無聊談對稱多項式

中四同學懂得應用餘式定理（remainder theorem）分解因式。

舉例，因式分解（factorize）下式

我們可以視上式為關於 的多項式，即

代入 ，得

Similar-looking formula

The equivalent resistance of a parallel circuit

can be determined by

.

A similar-looking formula found in a basic mathematics question involving parallel lines as shown below:

正弦積

初中同學，請問下式何值？

因為

所以

冇難度。

但

呢？

費氏講

N 年前往中一班代堂，必談「64 = 65」謎題：

(圖片來源：https://i.stack.imgur.com/fWdMd.jpg)

對以上現象，小朋友給了不少有創意但錯誤的解釋，如「冷縮熱漲」。

所謂

長周素

觀察一下：

，故循環周期（decimal period）為 6。

，循環周期為 16。

，循環周期為 18。

對於所有質數 ， 的循環周期都是 嗎？

等邊三角形

中學時遇上一些數題，特別有印象，這次談有關等邊三角形。

e.g. 1

下圖 ，， 皆為等邊三角形

證明 是平行四邊形。

只要看到當中的全等三角形，見下圖紅色者：

平行四邊形的條件

課堂談以下題目：

即是，有一對角相等及一對邊平行，則可得平行四邊形。理由：兩對對角相等。

之後我問：若有一對角相等及一對邊相等（見下圖），也可得平行四邊形嗎？

可以？還是不可？同學，自行探究一下吧：

作正五邊形

中二課本仍有教授（在定圓上）構作正五邊形的方法，見下

網友問原理為何？

一題多解

數學可以帶出其中一個教訓：解決問題的辦法並非單一。

（不過有多少學生解完題目，會如此神心尋求另外解法？面對極度規範化的考題，方法多數固定，對一些同學來說，莫說一題多解，更多時是找不到解法。）

例子一

不知初中同學你會有多少辦法處理下題：

證明：

方法一：相似三角

又因式分解

以前中二教的因式分解，今年放在中三才教，內容包括 cross method 和 sums and differences in cubes.

關於十字相乘法，十多年前的師訓已談過另一個方法，就是把中項裂開成兩項，再用 grouping 云云，以幫助成績稍遜的學生。可是利用計算機做因式分解的誘惑太大，我班有些中三仔，一早已用計算機了。

對於他們，唯有給一些 EQ（easy question）讓他們覺得上課有點意義。比如

Factorize .

其實這題是可以用 cross method 處理的。

答問

網友問：

若

求

其實我沒有甚麼好方法

因式分解與畢氏數組

有些二次式 ，可以（在整數環上）因式分解為

但一般來說，以下四式

未必全部可以。

當然有些情況可以，例如

原來

old trick is so…

偶見網上某題：

若 　　（），求 的值。

偶見網民解之：

………. (1)

講兩題

對，seize the moment，抓緊此際講兩題。

（注：上圖式子是 moment 的定義。特別地，當 k=2，它就是方差 variance。）

（一）

修物理的同學一定學過透鏡公式（lens formula）

和費波那契數列有關的一個遊戲

講開費波那契數列，多談一例。

上次介紹過 nim 這個古舊遊戲，見下：

https://johnmayhk.wordpress.com/2013/06/18/just-a-game/

介紹返，手機 apps 免費玩，搜尋 ＂nim＂ 便可（但現世云云手機遊戲，還有小朋友會下載這個嗎？）：

今次把這個 2 人遊戲，略改規則如下：開始時有 n 個包子。第一個玩家至少取一個，但不能全取。之後輪流取包，規則是至少取一個包，也可取任何數目的包，只要取包數目不超過對手之前取包數目的兩倍。取最後一個包者勝。

比如，n = 15，甲乙對賽，甲先取。

甲取 2 個（餘 13 個）
乙不能取多於 4 個，乙取 4 個（餘 9 個）
甲不能取多於 8 個，甲取 1 個（餘 8 個）
乙不能取多於 2 個，乙取 1 個（餘 7 個）
甲不能取多於 2 個，甲取 2 個（餘 5 個）
乙不能取多於 4 個，乙取 3 個（餘 2 個）
甲不能取多於 6 個，甲取 2 個（餘 0 個）
甲勝。

原來如果 ｎ 不是費波那契數，甲有必勝法；但如果 n 是費波那契數，則乙有必勝法。