病中打字

一。釘已打

太太生日，想談更多；但這不宜，只記某刻：她去看衫，兒子上課，我去看書。

基礎數學，頗為有趣，暼見如下：

唯銀根出缺，書釘已打，匆匆離去，滿足。新近一套：《數學文化小叢書》，短小精悍，其中一本，價值 $14，題為《幾何學在文明中所扮演的角色》，著者項武義教授（姑勿論存在關於項教授的負面言論），也吸引了眼目。在起始一段：

1,2,3,4 之後是

為讓 NSS 的同學多一點探究，在下嘗試在數學課引入一些活動，其中一個舊活動是「交通擠塞」，見

http://mathforum.org/alejandre/java/jam/Jam.html

當天和同學探究 對「人」和「最少步數」的關係，易知

當 ，「最少步數」是 3；
當 ，「最少步數」是 8；

隨即，我著同學「估」：當 時，「最少步數」如何？

類似地？

小心，對一些運算法則，我們定要正本清源，不能單以一句「類似地」便隨便進行「類似」運算。

e.g. 1 循環小數

　正確，但不是「類似地」得到：

（錯！）

My first NSS math lesson

During the first NSS mathematics lesson in F.4D, I gave my students a piece of worksheet for practicing simple algebraic computation. (Well, I could collect money during the time when they were doing classwork)

Q.1 to 4 are factiorization problems: factorize the following

1.
2.
3.
4.

Then I’d set the following questions in the worksheet and asked them to hand in as their homework:

5. What is your feeling about mathematics?
6. What is your expectation of mathematics teacher in this acedemic year?
7. What is your expectation on your own about the learning of mathematics?

Finding general term by generating function

It is extremely easy to set up questions on number pattern, like

1, 3, 8, 19, 42, 89, ?

for more details, we may tabulate the question as:

the question is, when , what is the value of ?

My first reply to such kind of question is

“no need to do”

開任意次方法

《幾何與數理邏輯》湯璪真文集

記載了一篇介紹開任意次方的方法：

公平分配

A.

小學一年級 IQ 題：如何公平地把 4 個橙公平分給 7 個小朋友？

答曰：哼，用搾汁機啦！（有 D 似「愛『夫』堅」廣告 …）

B.

開心 share 一個童年片段，是公平分配的反面教材，不知我的弟弟記得否？

話說 N 年前某天，某某送了一粒瑞士糖給我和弟弟，注意，係一粒（點解唔送多粒？）。因為粒糖好硬，刀不能分；於是我告訴弟弟：「等我咬一半畀你啦。」弟弟一直站在我旁，等呀等…等了很久…我還沒有分一半給他，出事！因為我一路咬下咬下，唔覺唔覺冇o左件事，成粒食曬！之後點？忘記了。

十進制轉二進制

同事在中二的數學考卷擬了一道題：把 表達成二進制的數字。

整數部分，同學易求，現在的關注點是

如何轉成二進數？這個也簡單，

對卷後，梁同學問我，那麼

如何轉成二進數？

考試前後

前

考中二數學前夕，梁同學致電問數。我都「好野」，一邊行街赴父親節宴會，一邊做數講數。

問題太多，晚上回家，梁同學再問下半場。

他問什麼中二數學問題？列幾個：

1. Factorize .
2. 把 8 cm * 10 cm 長方形一對角（opposite angles）摺疊，求摺痕長度。
3. 二進制轉和十六進制的直接互換方法。
…

等等。

後

教你小學數

一口氣做了幾個 ETV，同學慢用。

二。有關七分之一

[FW] 在大自然中窺見費伯納契數列

http://sa.ylib.com/saeasylearn/saeasylearnshow.asp?FDocNo=1389&CL=81

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

全國奈米科技應用競賽 ：
http://www.bme.nchu.edu.tw/competition/
（頗有趣。香港有沒有類似的比賽？）

數數唸

一．

以下數字是「旋轉對稱」的嗎？

1961

中二數學：累積頻數曲線

1.

同學問：「有累積頻數多邊形不是已經足夠嗎？為何還要學累積頻數曲線？」

2.

Just reply to my so-called ETV

Here is just a reply to my primary school mathematics ETV (magic square).

When I was a primary school boy, my mathematics teacher taught us how to construct magic square, today, I still remember what she had taught me. For your reference, here is an easy way to construct magic square of odd order:

http://en.wikipedia.org/wiki/Magic_square#A_method_for_constructing_a_magic_square_of_odd_order

Students, try to construct magic squares

教學現場之中二數學之又玩計算機

今天又是教學生使用計算機。

「大家取出計算機，幫我計一計 的數值是多少。」

中二數學：小心使用計算機

剛開三角學，同學縱使寫對公式，卻因不小心運用計算機（指的是 CASIO fx-3650P 等相關型號），以致答案出錯，太「唔抵」了。

問題多數出於括弧的運用，實在太多同學忽略括弧了。

問題一：計算 的平方

拉 curve

中二的同學問我如何「拉 curve」（即調整分數），讓我略談。

比如數學科某次考試結果，最高和最低分數分別為 79 分及 4 分，但因為及格率只有三成，太低，於是把原本得 42 分的變成及格，即 50 分，以符合某一個及格率。調整分數後，新的最高和最低分數，仍然為 79 分及 4 分。

調整分數方法有無限多種

中二數學：不等式

剛開不等式這課，教科書有以下的習題：

If , then ______ .

中二數學靈異事件：集體幻覺

如何幫助同學面對有關代數運算的障礙？某書上看過一段虛擬的師生對話，大概如下：

師：「你可以化簡 嗎？」
生：「可以，就是 。」

計到答案咪得囉

不知是否受中國傳統數學思想影響，學生做數，往往只重答案，輕忽過程。

以下是選自學生的習作或測驗中的例子，或可說明過程的重要。

〔警告！數學心智未成熟者，請陪同家長或老師收看〕

做數雕蟲小技系列：看整體

看整體有時比看局部好。舉例

1. Factorize .

中一數學題：短加長減

考試在即，擬一道中一數學題作溫書之用：

以下是由香港行政長官會同行政會議批准由二○○八年十一月三十日起生效的市區的士新舊收費換算表：

F.2 Mathematics : a minor problem in factorization

Let’s start with the following question.

Factorize

.

F.2 Mathematics: factorization by cross method

Factorize

.

By using the cross method, students may give the following two ‘possible answers’.

A.
B.

杜西現象

隨便在圈上寫上 4 個整數，見下

圈住它們，在外圈上寫上

at 17

其實是 center at 17，大家先看看下表：

看到什麼規律沒有？其實上表是以 17 為中心，順時針地把之後的整數，一個個寫出，見下。

中二數學課：恆等式

把授課員眼中認為非常簡單的恆等式習題寫在黑板上，見同學 A 乖乖抄完，之後，他好像有點魂遊丈外，我走到他那裡，問之

中二數學堂：零的零次方

中二數學堂。

同學甲：「零的零次方是什麼？」
同學乙：「1，中一教過，任何數的零次方都是 1。」
同學丙：「零的零次方係計唔到。」
我：「點解計唔到？」
同學丙：「你試下用部 Calculator 計下，math error 啦！」
我：「點解計唔到？」
同學丙：「因為 math error，中一阿 sir 係咁解。」
同學乙：「點解書話：任何數的零次方都是 1？」
（虛擬人物）同學丁：「答案是 0，因為 0 的任何次方都是 0。」

不能秒殺的提問

在堂上，一般情況下，學生提問，在下多半手起刀落，秒殺解之。今天 4E 同學問了兩個問題，在下不能秒殺：

1. 誰發明 這個符號？
2. 畢氏數組中是否必然存在 3 或 5 的倍數？

論商餘（二）

有同學問到綜合除法（synthetic division）之原理，讓我詳述之。

本文共分四部份：
一、算法
二、原理
三、推廣
四、應用

中二數學問題之有效數字

派完測驗，粱同學問：

如果 x = 0.25 (correct to 2 significant figures)

那麼 x 的 maximum value（最大值）是多少？

論商餘 (一)

所謂「商」「餘」乃 quotient 及 remainder 是也。這個 post 只是一些有關除法的簡單討論。

初中數學堂之：正負數加減

每年，總有學生問：「如何證明一加一等於二？」下面是很久以前在網上找到的文章【為什麼 1 + 1 = 2】，我貼過又貼，未看過的同學，可讀讀黃毅青教授的介紹：

http://intranet.sfxc.edu.hk/it-school/homepage/nwc/temp/1_plus_1_equal_2.pdf

就是一些很基礎的東西，我們往往忘記它的因由，比如，為何會「負負得正」之類。讓我談一些初中數學的東西，希望 refresh 同學的一些記憶。

F.2 Mathematics: significant figures

F.2 students, please fill in the following blanks.

(a) has __________ significant figures.

(b) has __________ significant figures.

正多邊形作圖法

我在工業學校渡過中學生活。已往在工業學校，繪圖是必修科（現在好像稱為『圖象傳意科』）。從中一開始，我們便手拿大大塊的繪圖木版，插著 T 尺上課，每星期也要寫 lettering（功效類似我年代幼稚園練字用的 copy book，不知現在還有嗎？）以打好寫字的基本功。

簡易經濟題

讓我又借用其他東西包裝一下數學。

下圖是某貸物之單價和該貸物的需求數量之關係，此乃線性的需求曲線（linear demand curve）。藍線上某點 代表，當價位是 ，需求的數量是 ，若把所有貨物賣出，則總收入（Revenue）是 。

短打 TSA

關於中三的「全港性系統評估」（Territory-wide System Assessment，TSA），今年已到了第三屆。當然，一旦落實了政策，以前的爭論多數會付諸東流。不多吹水，讓我示範以偏概全的謬誤。

平面圖形平面談

幾年前，某次陪伴就讀小學的姪兒做數學家課，是有關認識平面圖形的。當中有一個配對的習題：

[FW] 如何造假資料？

http://chanlikhangnick.googlepages.com/writing20080703.htm

簡單有趣的介紹，推薦大家一看！

Points to note in junior form mathematics teaching

上次也略略提及有關小學和初中數學銜接的注意事項，今次我再無聊地，按課題列出教授初中數學課程時特別要注意有關小學銜接的種種，供諸君參考參考：
http://intranet.sfxc.edu.hk/it-school/homepage/nwc/Points-to-note-in-junior-form-mathematics-teaching.doc

學摺數學

粗製濫造以下影片，是關於一個簡單的數學問題及一個簡單的解，有興趣可看看。

Marker’s report on SFXC F.2 Mathematics (I) Final Exam 2007-2008

Marker’s report on SFXC F.2 Mathematics (I) Final Exam 2007-2008

Passing rate : 63% (with project score considered)
Max : 86
Min : 9
Mean : 51.41
SD : 17.08

Chatting in math

(1) F.2 quiz

To focus on the weakness of algebraic computation, I’d set the following as one of the questions in a F.2 mathematics quiz: any mistake you can find in the presentation?

完美矩形與基爾霍夫定律

下圖顯示一個由 9 個不同大小的正方形拼砌出來的矩形（長方形），當中顯示的數字，代表該正方形的邊長。我們稱由 n 個不同大小的正方形拼砌成的矩形為「n 階完美矩形」，可見，下圖是一個 9 階完美矩形。

[FW] 聽歌學 Math : 三角關係 Unidex（及其他）

談到音樂，在 top post 看到，在這裡推介。同學（尤其是中二的同學），聽聽吧。我一路聽，一路忍笑…（沒有 MV，直接按 (more…) 看歌詞聽歌可以了！）

同學，拿出你們的 Casio FX-3650p 吧

人腦計 很易。

即

答案是零，fine。現在拿出你們的計算機，看看答案吧，是否『錯到離譜』？

Biangle

我們知什麼是 Triangle，三角形是也。那麼有沒有 Biangle？二角形（或二邊形，對不起，其實我不知是否這樣翻譯）呢？

[教具] F.2 Math Trigonometric Ratios and Unit Circle

http://hkedcity.net/ihouse_tools/forum/read.phtml?forum_id=27877¤t_page=&i=1244769&t=1244769

 

習，數飛也 – 四階拉丁方及四階數獨

習，數飛也（參考《說文解字》全文檢索測試版）

香港數學課改『總舵手』李柏良先生（教育局總課程發展主任（數學）個人網頁）在 29/4 的數學教育研討會上，把『數飛』，聯想到數算麻將的『飛數』，即係『呢副牌可以叫幾多飛』。台下的聽眾雀躍，大概是因為看到『生活的數學』吧。我慘，我是火星人，不懂麻將（其實初中時，家父教過在下，但自己沒有『操練』，所以現在已不懂了），如果將來的數學考卷問什麼『大四喜』，『十三么』之類，我的情況同看『會考潮文』一樣，死得。

Wrong method, but correct answer

Obviously, the methods throughout the following sets are completely wrong in general; however, correct answers will be obtained. Try to verify them and explain why it happens. You may read the explanation at the end for confirmation.

(Set 1) Erase the indices

(Set 2) Erase the logarithm

(Set 3) Product to sum

(Set 4) Out of radical sign

(Set 5) Exchange indices

(Set 6) Sum to product

Explanation
Try to prove the following identities to see the reasons why we have equations from set 1 to set 6.

今天又代堂:神奇數字,魔術,Gag

進入 F.3D 班房

1. 顯示聖經約翰福音（若望福音）第廿一章的內容，指出神奇的數字 153。介紹當中的特性（全班幫我『督機』驗算）。（參考 Sarah 在 mathdb 的 post）

兩件大小事

（一）研討會

在香港教育學院出席了數學教育研討會 2008『數學思考和解題』。研討會明天繼續，但因（一）明天有兩堂 F.2（二）下午要上律師樓，所以『唔』往矣。一連聽六個 talks 都頗累（辛苦主辦者了！），有機會再向大家談一些有趣的內容。這裡記一記開幕時李榮安教授（香港教育學院副校長）的話：

上課雜談

（一）乖

今早，代堂，進入 F.1J 的班。一如已往，我給他們一邊幹『自己的事』，一邊聽我說數學的東西。因毫無準備，我又吃老本，講『謎題』：把邊長 8 單位的正方形分四份，再拼合，得長闊分別長 13 及 5 單位的長方形，由面積的考慮，『證明』了『64 = 65 』。已往，一到這個位（好像笑片的 gag 位，期望觀眾笑一笑），同學一定會露出奇異目光，七咀八舌地問『為什麼』？或你一言我一語地說出一些『創意』的解釋，但！但！但！他們竟然仍然是鴉雀無聲！他們是看一看我，隨即又在抄中文啦，又在看著什麼什麼的書啦。見狀，我不再多言，以免破壞如此幽靜， 心中盛讚可以訓練出他們如此這般的老師，但另一方面，我又對他們似乎過早失去那份好奇心和求知心而感到一點憂慮。

講座報告(中小學數學課程銜接)

近日參與的數學講座：

2008-04-18 2:00 p.m. ~ 5:00 p.m.
NSS Enriching Knowledge for the Mathematics Curriculum – (1) Applications of Mathematics: Time Series, Forecasting & Economics
Speakers: Dr WU Ka-ho, Associate Professor of The Chinese University of Hong Kong and Dr IP Wai-cheung, Associate Professor of The Hong Kong Polytechnic University

2008-04-18 6:15 p.m. ~ 8:00 p.m.
多項式費馬大定理的簡單証明
講者：岑嘉評教授 (數學家、香港大學數學系榮譽教授、國際數學奧林匹克香港委員會主席).

2008-04-19 2:00 p.m. ~ 5:00 p.m.
中小學數學課程銜接
講者：梁敬文先生、衛國先生、吳丹老師、戚文鋒老師

讓我先記『中小學數學課程銜接』

take log 後單位如何

早前，化學科老師 sir 問，take log 後單位如何？

例如以圖像找某溶液的濃度 和時間 之關係，有時要畫 - graph 來找 slope 等，問題是，take log 後，濃度的單位如何？

代堂求其講

昨天代中三的堂，沒有什麼準備，『求其』講一些數學東東。那題目已是說第三次：足球。

這是當天的『事後』teaching plan。

從握手到不動點（一）

從握手到不動點（一）

上年，應同學的邀請，我講了一個所謂的數學講座。今年，趁數學周將至，讓我在此也講一些數學。因我希望中一至中七的同學也能看明白，我會盡量詳盡（長氣）地說。

（一）握手定理（Handshaking lemma）

在空間中隨便點一些點，如下

隨意在點與點之間連起線段，如下

這樣，我們得出一個簡單的圖（graph）。對於圖中的每一點，我們可以定義該點的度數（degree），就是有多少條線由該點引出。參考上圖，因有 2 條線段由 A 點引出，故A 點的度數是 2。把上圖每點的度數寫出來，情況如下：

把上圖所有點的度數加起，就是上圖的總度數，即 0 + 1 + 1 + 2+ 3 + 1 + 2 = 10，得到一個偶數（even number）。小習題，試計算下圖的總度數。

1 – 1 + 1 – 1 + … = ? @ 濟濟一堂

今早，帶同學往培正參加培正數學邀請賽決賽，因 500 名參賽者比賽後，大會隨即在頒獎禮中宣佈結果，要花點時間計分。在計分時間，培正中學的葉校長和台下師生『玩遊戲』，問九章算術的問題，台下同學也踴躍參加，答對有 past paper 送。最後，因大會仍未可公佈分數，於是葉校長再問一道相信是臨時題目：1 – 1 + 1 – 1 + … 有多少個答案？其實問題未界定清楚，如果『答案』是指那個無限級數（infinite series）的極限值，這題是沒有答案的，皆因這無限級數是發散（divergent）的。但如果假設級數收斂（convergent），那麼我們可以『計』出多少個『答案』？係無限個。

俄羅斯乘法@濟濟一堂, denary and binary

This is my first time to teach the topic about conversion among denary (十進制), binary (二進制) and hexadecimal (十六進制) equivalence in form two mathematics. The first question asked by students was “what is the use of learning this?”, especially their calculators can give answers swiftly and precisely.

Evaluate cube roots

A F.5 student, Yan, asked me to do the following without using calculator